3-Amaliy mashg’ulot. Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari

3-Amaliy mashg’ulot. Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini 

echishning matritsa va Gauss usullari. 

 

1-misol.

 

    

































.

2

3

2

3

,

1

2

2

,

3

2

z

y

х

z

y

х

z

у

х

 

 

sistema matritsa usulida yechilsin. 

Yechish. Bu misolda 

А=































3

2

3

2

2

1

1

1

2

,    В=





























2

1

3

,     Х=





















z

у

х

 

bo’lgani  uchun  berilgan  sistemani  А



Х=В  matritsali  ko’rinishda  va  yechimini       

Х=А

-1

В  ko’rinishda  yozish  mumkin.  A  matritsaning  determinanti  1-satr 

elementlarini  2  ga  ko’paytirib  2-satrning  mos  elementlariga  qo’shamiz  va  hosil 

bo’lgan determinantni ikkinchi satr elemenlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz. 

0

5

3

2

1

1

)

1

(

5

3

2

3

0

0

5

1

1

2

3

2

3

2

2

1

1

1

2

1

2

































А

   

bo’lgani uchun А xosmas matritsa va unga teskari А

-1 

matritsa mavjud.                   А 

matritsaning barcha elementlarini algebraik to’ldiruvchilarini topamiz: 

А

11

=(-1)

1+1

3

2

2

2





=-2,    А

12

=(-1)

1+2

3

3

2

1





=-3,   А

13

=(-1)

1+3

2

3

2

1

=-4,   

А

21

=(-1)

2+1

3

2

1

1





=-1,   А

22

=(-1)

2+2

3

3

1

2



=-9,    А

23

=(-1)

2+3

2

3

1

2



=-7,   

А

31

=(-1)

3+1

2

2

1

1





=0,    А

32

=(-1)

3+2

2

1

1

2



=5,       А

33

=(-1)

3+3

2

1

1

2



=5.    

Algebraik to’ldiruvchilarning qiymatlarini (4.2) formulaga qo’yib  А

-1 

teskari 

matritsani topamiz: 

А

-1

=

5

1







































5

7

4

5

9

3

0

1

2

. 

Х, А

-1

 va В matritsalarni  Х=А

-1



В tenglikga qo’yamiz. U holda 





















z

у

х

=

5

1







































5

7

4

5

9

3

0

1

2

   





























2

1

3

=

5

1









































10

7

12

10

9

9

0

1

6

=

5

1





























15

10

5

=





















3

2

1

. 

hosil bo’ladi. Bundan  х=1, у=2, z=3  echimni hosil qilamiz. 

2-misol.      





























.

8

2

3

5

,

3

2

,

6

4

3

z

у

х

z

у

х

z

у

х

  (5.10)  

sistema Gauss usuli bilan yechilsin. 

Yechish.  1-qadam.  Birinchi  va  ikkinchi  tenglamalarni  o’rin  almashtirib 

birinchi tenglamadagi  x oldidagi koeffitsientni 1 ga keltiramiz:  





























8

2

3

5

,

6

4

3

,

3

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

       (5.11) 

a)  bu  sistemaning  birinchi  tenglamasini  –3  ga  ko’paytirib  ikkinchi 

tenglamasiga qo’shamiz: 

3

7

7

.

6

4

3

,

9

3

6

3























































z

y

z

y

x

z

у

х

 

b)  (5.11)  sistemaning  birinchi  tenglamasini  –5  ga  ko’paytirib  uchinchi 

tenglamasiga qo’shsak  

7

7

7

.

8

2

3

5

,

15

5

10

5























































z

y

z

y

x

z

у

х

 

hosil bo’ladi.   Shunday qilib (5.10) sistema 

































.

7

7

7

,

3

7

7

,

3

2

z

y

z

y

z

у

х

   (5.12) 

ko’rinishga ega bo’ladi. 

     

2-qadam.  (5.12)  sistemaning  ikkinchi  tenglamasini  –1  ga  ko’paytirib 

uchinchisiga qo’shsak uchinchi tenglamasidagi yo’qotilishi lozim bo’lgan у bilan 

bir qatorda  z noma‘lum ham yo’qolib ketadi, ya‘ni. 

4

0

7

7

7

,

3

7

7















































z

y

z

у

 

hosil bo’ladi. 

Shunday qilib Gauss usuliga binoan sistema birgalikda emas, ya‘ni yechimga 

ega emas ekan. 

Agar  sistema  birgalikda,  ammo  aniqmas  bo’lsa  Gauss  usulining  qandaydir 

qadamida ikkita bir xil tenglamalarga ega bo’lamiz. 

      Ya‘ni bu holda tenglamalar soni noma‘lumlar sonidan bittaga kam bo’ladi. 

3-misol. 





























.

12

2

3

5

,

3

2

,

6

4

3

z

у

х

z

у

х

z

у

х

  sistema Gauss usuli bilan yechilsin. 

          Yechish.  Birinchi  tenglamadagi  х  oldidagi  koeffitsentni  1  ga  keltirish 

maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib uni 





























.

12

2

3

5

,

6

4

3

,

3

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

(5.13) 

ko’rinishda yozamiz.  

a)  (5.13)  sistemaning  birinchi  tenglamasini  –3  ga  ko’paytirib  sistemaning 

ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz: 

3

7

7

.

6

4

3

,

9

3

6

3























































z

y

z

y

x

z

у

х

 

b)  (5.13)  sistemaning  birinchi  tenglamasini  –5  ga  ko’paytirib  uchinchi 

tenglamaga qo’shamiz: 

3

7

7

.

12

2

3

5

,

15

5

10

5























































z

y

z

y

x

z

у

х

 

Shunday qilib    

































.

3

7

7

,

3

7

7

,

3

2

z

у

z

х

z

у

х

 

cistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi 





















.

3

7

7

,

3

2

z

х

z

у

х

 

ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega. 

4-misol. Ushbu 







































4

3

8

3

2

2

3

2

2

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

 

sistema birgalikda bo’lsa, uni yeching? 

Yechish. Sistemaning matritsasi 

                                               

































1

1

3

1

1

3

2

3

2

1

2

1

А

 

ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi 

satrdan ayiramiz. U holda 

А

































1

1

3

1

1

3

1

1

3

1

2

1































0

0

0

1

1

3

1

1

3

1

2

1



























1

1

3

1

1

3

1

2

1

 

yoki  oxirgi  matritsaning  birinchi  satrini  (-3)  ga  ko’paytirib  ikkinchi  va  uchinchi 

satrlarning mos elementlariga qo’shsak 

А





























4

5

0

1

7

0

1

2

1

 

bo’ladi. Hosil bo’lgan ekvivalent matritsaning rangi 

3



r

 chunki 

0

8

20

28

4

5

4

7

4

5

0

4

7

0

1

2

1





























 

Demak, A matritsaning rangi ham 3 ga teng;  

3



A

r

 

Kengaytirilgan  

































4

1

1

3

8

1

1

3

2

2

3

2

2

1

2

1

B

 

matritsaning 

rangini 

hisoblaymiz. 

A 

matritsadagi 

singari 

 

elementar  

alamashtirishlarni bajaramiz. 

В

































4

1

1

3

8

1

1

3

4

1

1

3

2

1

2

1

































0

0

0

0

8

1

1

3

4

1

1

3

2

1

2

1





























8

1

1

3

4

1

1

3

2

1

2

1































2

4

5

0

2

4

7

0

2

1

2

1

 

Oxirgi ekvivalent matritsaning rangi 

3



r

 bo’lishi ravshan. Demak kengaytirilgan 

B

 matritsaning rangi ham 3 ga teng 

3



B

r

 

    Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda. 

Bundan  tashqari  matritsalarning  rangi  noma‘lumlarning  soniga  teng,  shu 

sababli  sistema  birgina  yechimga  ega. 

0





  minor  birinchi  uchta  tenglama 

koeffitsentlaridan  tuzilgan,  shu  sababli  to’rtinchi  tenglama  birinchi  uchta 

tenglamalarning natijasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin. 

Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamalaridan tuzilgan uch noma‘lumli uchta 

tenglamalar 

sistemasini 

Kramer 

formulalaridan 

foydalanib 

yechib 

3

,

2

,

1

3

2

1







x

x

x

 ni topamiz. Bu yechim berilgan sistemaning ham yechimi bo’ladi. 

Mustaqil yechish uchun mashqlar. 

1.a)



























.

3

3

2

,

2

2

,

11

5

2

3

у

х

z

у

х

z

у

х

b)































.

3

5

2

,

1

3

3

,

0

4

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

d)































.

1

6

3

,

30

4

7

2

,

19

3

z

у

х

z

у

х

z

у

х

 

chiziqli tenglamalar sistemasi Gauss usuli bilan yechilsin.        

 Javob: a) x=3,y=-1, z=0; b) x=0, y=2, z=1; d) x=5, y=4, z=-2. 

2. a) 































.

4

3

2

5

,

2

,

8

4

3

z

у

х

z

у

х

z

у

х

 b)  





























.

0

5

8

4

,

8

4

2

,

5

3

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

 

sistemalarning  birgalikdaligi  yoki  aniqmasligi  Gauss usuli  yordamida  tekshirilsin. 

Javob: a) sistema aniqmas; b) sisitema birgalikda emas. 

3.a) 





























.

4

2

3

,

9

3

3

,

5

2

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

                b) 





























.

10

3

,

11

2

3

2

,

0

2

z

у

х

z

у

х

z

у

х

 

sistemalar matritsa usuli yordamida yechilsin. 

Javob: a) x=2, y=0, z=-1   b) x=3, y=-1, z=1.