3-Amaliy mashg’ulot. Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari
Download 330.67 Kb. Pdf ko'rish
|
3-amaliy Chiziqli tenglamalar sistemasini
- Bu sahifa navigatsiya:
- Yechish . 1-qadam.
- 2-qadam.
- Yechish.
- Mustaqil yechish uchun mashqlar.
3-Amaliy mashg’ulot. Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari. 1-misol.
. 2 3 2 3 , 1 2 2 , 3 2 z y х z y х z у х
sistema matritsa usulida yechilsin. Yechish. Bu misolda А= 3 2 3 2 2 1 1 1 2 , В= 2 1 3 , Х= z у х
bo’lgani uchun berilgan sistemani А Х=В matritsali ko’rinishda va yechimini Х=А -1
elementlarini 2 ga ko’paytirib 2-satrning mos elementlariga qo’shamiz va hosil bo’lgan determinantni ikkinchi satr elemenlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz. 0 5
2 1 1 ) 1 ( 5 3 2 3 0 0 5 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 А
bo’lgani uchun А xosmas matritsa va unga teskari А -1
matritsa mavjud. А matritsaning barcha elementlarini algebraik to’ldiruvchilarini topamiz: А 11 =(-1) 1+1 3 2 2 2 =-2, А 12 =(-1)
1+2 3 3 2 1 =-3, А 13 =(-1)
1+3 2 3 2 1 =-4, А 21 =(-1) 2+1 3 2 1 1 =-1, А 22 =(-1)
2+2 3 3 1 2 =-9, А 23 =(-1) 2+3 2 3 1 2 =-7, А 31 =(-1) 3+1 2 2 1 1 =0, А 32 =(-1)
3+2 2 1 1 2 =5, А 33 =(-1) 3+3 2 1 1 2 =5. Algebraik to’ldiruvchilarning qiymatlarini (4.2) formulaga qo’yib А -1 teskari
matritsani topamiz: А -1 = 5 1 5 7 4 5 9 3 0 1 2 .
-1 va В matritsalarni Х=А -1
z у х = 5 1 5 7 4 5 9 3 0 1 2
2 1 3 = 5 1 10 7 12 10 9 9 0 1 6 = 5 1 15 10 5 = 3 2 1 . hosil bo’ladi. Bundan х=1, у=2, z=3 echimni hosil qilamiz. 2-misol. . 8 2 3 5 , 3 2 , 6 4 3 z у х z у х z у х (5.10) sistema Gauss usuli bilan yechilsin.
birinchi tenglamadagi x oldidagi koeffitsientni 1 ga keltiramiz:
8 2 3 5 , 6 4 3 , 3 2 z у х z у х z у х (5.11) a) bu sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz: 3 7
. 6 4 3 , 9 3 6 3 z y z y x z у х
b) (5.11) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak 7 7 7 . 8 2 3 5 , 15 5 10 5
y z y x z у х
hosil bo’ladi. Shunday qilib (5.10) sistema . 7 7 7 , 3 7 7 , 3 2 z y z y z у х (5.12) ko’rinishga ega bo’ladi.
uchinchisiga qo’shsak uchinchi tenglamasidagi yo’qotilishi lozim bo’lgan у bilan bir qatorda z noma‘lum ham yo’qolib ketadi, ya‘ni. 4 0 7 7 7 , 3 7 7 z y z у
hosil bo’ladi. Shunday qilib Gauss usuliga binoan sistema birgalikda emas, ya‘ni yechimga ega emas ekan. Agar sistema birgalikda, ammo aniqmas bo’lsa Gauss usulining qandaydir qadamida ikkita bir xil tenglamalarga ega bo’lamiz. Ya‘ni bu holda tenglamalar soni noma‘lumlar sonidan bittaga kam bo’ladi. 3-misol. . 12 2 3 5 , 3 2 , 6 4 3 z у х z у х z у х sistema Gauss usuli bilan yechilsin. Yechish. Birinchi tenglamadagi х oldidagi koeffitsentni 1 ga keltirish maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib uni
. 12 2 3 5 , 6 4 3 , 3 2
у х z у х z у х (5.13)
ko’rinishda yozamiz. a) (5.13) sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz: 3 7 7 . 6 4 3 , 9 3 6 3 z y z y x z у х
b) (5.13) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz: 3 7 7 . 12 2 3 5 , 15 5 10 5
y z y x z у х Shunday qilib
. 3 7 7 , 3 7 7 , 3 2 z у z х z у х
cistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi . 3 7 7 , 3 2
х z у х
ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega. 4-misol. Ushbu 4 3 8 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 х х х х х х х х х х х х
sistema birgalikda bo’lsa, uni yeching? Yechish. Sistemaning matritsasi 1 1 3 1 1 3 2 3 2 1 2 1
ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi satrdan ayiramiz. U holda А 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2 1 0 0 0 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 1 3 1 2 1 yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-3) ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchi satrlarning mos elementlariga qo’shsak
4 5 0 1 7 0 1 2 1 bo’ladi. Hosil bo’lgan ekvivalent matritsaning rangi 3
chunki 0 8 20 28 4 5 4 7 4 5 0 4 7 0 1 2 1
Demak, A matritsaning rangi ham 3 ga teng; 3 A r
Kengaytirilgan 4 1 1 3 8 1 1 3 2 2 3 2 2 1 2 1
matritsaning rangini hisoblaymiz. A matritsadagi singari
elementar alamashtirishlarni bajaramiz. В 4 1 1 3 8 1 1 3 4 1 1 3 2 1 2 1 0 0 0 0 8 1 1 3 4 1 1 3 2 1 2 1 8 1 1 3 4 1 1 3 2 1 2 1 2 4 5 0 2 4 7 0 2 1 2 1
Oxirgi ekvivalent matritsaning rangi 3
bo’lishi ravshan. Demak kengaytirilgan
matritsaning rangi ham 3 ga teng 3
r
Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda. Bundan tashqari matritsalarning rangi noma‘lumlarning soniga teng, shu sababli sistema birgina yechimga ega. 0
minor birinchi uchta tenglama koeffitsentlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta tenglamalarning natijasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin. Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamalaridan tuzilgan uch noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechib
3 , 2 , 1 3 2 1
x x ni topamiz. Bu yechim berilgan sistemaning ham yechimi bo’ladi. Mustaqil yechish uchun mashqlar. 1.a)
. 3 3 2 , 2 2 , 11 5 2 3 у х z у х z у х b) . 3 5 2 , 1 3 3 , 0 4 2
у х z у х z у х d) . 1 6 3 , 30 4 7 2 , 19 3
у х z у х z у х
chiziqli tenglamalar sistemasi Gauss usuli bilan yechilsin. Javob: a) x=3,y=-1, z=0; b) x=0, y=2, z=1; d) x=5, y=4, z=-2. 2. a)
. 4 3 2 5 , 2 , 8 4 3
у х z у х z у х b)
. 0 5 8 4 , 8 4 2 , 5 3 2 z у х z у х z у х
sistemalarning birgalikdaligi yoki aniqmasligi Gauss usuli yordamida tekshirilsin. Javob: a) sistema aniqmas; b) sisitema birgalikda emas. 3.a)
. 4 2 3 , 9 3 3 , 5 2 2
у х z у х z у х b)
. 10 3 , 11 2 3 2 , 0 2 z у х z у х z у х
sistemalar matritsa usuli yordamida yechilsin. Javob: a) x=2, y=0, z=-1 b) x=3, y=-1, z=1.
Download 330.67 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling