3-ma'ruza. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

hMi = {a^ε₁¹ ∗ a^ε₂² ∗ · · · ∗ a^ε_nⁿ|a₁, a₂, . . . , a_n ∈ M, ε_i = ±1, n = 1, 2, . . . }.
Isbot. Teoremadagi tenglikning o‘ng tominini H orqali belgilab olaylik. Ma’lumki, n = 1 va ε₁ = 1 bo‘lgan holda a₁ ∈ H, ya’ni M to‘plamning ixti-yoriy elementi H ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ∀h, g ∈ H uchun h = a^ε₁¹ ∗ a^ε₂² ∗ · · · ∗ a^ε_nⁿ va g = b^ǫ₁¹ ∗ b^ǫ₂² ∗ · · · ∗ b_k^ǫk bo‘lib,
h ∗ g⁻¹ = a^ε₁¹ ∗ a^ε₂² ∗ · · · ∗ a_n^εn ∗ b_k^−ǫk ∗ · · · ∗ b⁻₂^ǫ2 ∗ b⁻₁^ǫ1 ∈ H.
Demak, H to‘plam qism gruppa bo‘lib, M ni o‘z ichiga oladi. Bu esa hMi ⊂ H ekanligini anglatadi.
Ikkinchi tomondan esa barcha a_i elementlar hMi qism gruppada yotganligi uchun, a^ε₁¹ ∗ a^ε₂² ∗ · · · ∗ a^ε_nⁿ ko‘rinishidagi barcha elementlar hMi da yotadi. Bundan esa, H ⊂ hMi kelib chiqadi. Demak, hMi = H.
Agar M to‘plam bitta elementdan iborat to‘plam, ya’ni M = {a} bo‘lsa, u holda h{a}i o‘rniga hai belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
3.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun hai = {aⁿ | n ∈ Z} bo‘ladi.
Agar G = hMi tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda M to‘plam G gruppaning hosil qiluvchi to‘plami deyiladi, M to‘plamning elementlari esa G gruppaning hosil qiluvchi elementlari deb ataladi.
3.4-ta’rif. Agar G gruppada G = hai tenglikni qanoatlantiruvchi a ∈ G element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppa siklik gruppa deyiladi.
Ta’kidlash joizki, har qanday siklik gruppa kommutativ gruppa bo‘ladi. Haqiqatan ham, G = hai siklik gruppaning ixtiyoriy b va c elementlari uchun shunday butun n va m sonlar topilib, b = aⁿ va c = a^m tengliklar o‘rinli. Ushbu b ∗ c = aⁿ ∗ a^m = a^n+m = a^m ∗ aⁿ = c ∗ b tenglikdan b va c elementlar o‘zaro o‘rin almashinuvchi ekanligi kelib chiqadi. O‘z navbatida b va c elementlarning ixtiyoriy ekanligidan G gruppaning kommutativligiga ega bo‘lamiz.
3.1-misol.
• Qo‘shishga nisbatan butun sonlar gruppasi (Z, +) siklik gruppa bo‘ladi, ya’ni
Z = h1i.
• Qo‘shishga nisbatan chegirmalar gruppasi (Z_n, +) ham siklik gruppa bo‘ladi,
ya’ni Z_n = h1i.
Quyidagi teorema chekli siklik gruppalarning aniq tasnifini ifodalaydi.
3.5-teorema. Agar G tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa bo‘lsa, u holda G = hai = {e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹}.
Isbot. G siklik gruppa bo‘lganligi uchun G = hai bo‘lib, 1.3.2-natijaga ko‘ra hai = {aⁱ | i ∈ Z} kelib chiqadi. Suningdek, hai chekli bo‘lganligi uchun shunday i, j (j > i) butun sonlar topilib, aⁱ = a^j bo‘ladi. Natijada a^j−i = e, j − i > 0 tenglikka ega bo‘lamiz. Endi T := {k ∈ N | a^k = e} to‘plamning eng kichik elementini m bilan belgilaymiz. U holda S := {e, a, a², . . . , a^m−1} to‘plamning barcha elementlari turli bo‘ladi. Darhaqiqat, agar a^s = a^t, 0 ≤ s < t < m, bo‘lsa, u holda a^t−s = e, 0 < t − s < m bo‘lib, m soni T to‘plamning eng kichik elementi ekanligiga zidddiyat kelib chiqadi.
Shuningdek S ⊆ hai ekanligi ma’lum. Endi hai ⊆ S munosabat o‘rinli ekan-ligini ko‘rsatamiz. Buning uchun a ning ixtiyoriy darajasi S to‘plamga tegishli ekanini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy a^k ∈ hai, k ∈ Z uchun, qoldiqli bo‘lish qoidasiga ko‘ra k sonini k = qm + r, 0 ≤ r < m ko‘rinishda yozib olsak:
a^k = a^qm+r = (a^m)^q ∗ a^r = e ∗ a^r = a^r ∈ S.
Bundan esa, hai ⊆ S kelib chiqadi. Shunday qilib, S = hai va S ning ele-mentlari turli, hamda hai gruppaning tartibi n ga teng ekanligidan m = n kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
3.3-natija. G gruppa siklik bo‘lishi uchun shunday a ∈ G element topilib,
ord(a) = |G| bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremada siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik
gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.
.6-teorema. Siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik gruppa bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G = hai siklik gruppa berilgan bo‘lib, H uning qism gruppasi bo‘lsin. Agar H = {e} bo‘lsa, u holda uning siklik ekanligi ravshan. Aytaylik, H 6= {e} bo‘lib, b ∈ H, b 6= e bo‘lsin. U holda b = a^m bo‘lib, H qism gruppa bo‘lganligi uchun b⁻¹ = a^−m ∈ H. Bundan esa, H qism gruppa a^k, k > 0 elementni o‘z ichiga olishi kelib chiqadi.
Aytaylik, n soni aⁿ ∈ H munosabat o‘rinli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lsin. U holda biz H = haⁿi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy h ∈ H elementni aⁿ ning darajasi ko‘rinishida yozilishini ko‘rsatish kifoya. h ∈ G bo‘lganligi uchun shunday k ∈ Z topilib, h = a^k bo‘ladi. k sonini n ga qoldiqli bo‘lsak, k = nq + r, 0 ≤ r < n. U holda, r = k − nq ekanligidan
a^r = a^k−nq = a^k(aⁿ)^−q ∈ H
kelib chiqadi. n soni a elementning darajasi H ga tegishli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lganligi uchun r = 0 ekanligiga ega bo‘lamiz. Demak, k = nq, ya’ni h = (aⁿ)^q kelib chiqadi. Bu esa, H = haⁿi ekanligini anglatadi.
Ma’lumki, Z₄ gruppa to‘rtinchi tartibli siklik gruppa bo‘lib, uning qism grup-palari quyidagilardan iborat