3-ma'ruza. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

3-ma'ruza. Qism gruppalar. Siklik gruppalar
Bizga (G, ∗) gruppa va uning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami beril-gan bo‘lsin. Agar ∀a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b ∈ H bo‘lsa, u holda H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq deb ataladi. Ta’kidlash joizki, G to‘plam gruppa bo‘lganligi uchun H to‘plamda ham assosiativlik sharti bajariladi, ya’ni ∀a, b, c ∈ H elementlar uchun (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) munosabat o‘rinli. Demak, agar H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lsa, u holda (H, ∗) yarim gruppa tashkil qiladi.
3.1-ta’rif. Agar H to‘plam G gruppada aniqlangan ∗ amaliga nisbatan gruppa tashkil qilsa, u holda H to‘plam (G, ∗) gruppaning qism gruppasi deyiladi va H ≤ G kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy gruppaning kamida ikkita H₁ = {e} va H₂ = G qism gruppalari mavjud. Gruppaning birlik elementdan va o‘zidan iborat bo‘lgan qism gruppalaridan farq qiluvchi qism gruppalariga xos qism gruppalar deyiladi.
Biz avvalgi mavzularda qaragan juda ko‘p gruppalarimizning biri ikkinchisiga qism gruppa bo‘ladi. Masalan, butun sonlar to‘plamining additiv (qo‘shish ama-liga nisbatan) gruppasi, ratsional sonlar to‘plamining additiv gruppasiga qism qruppa, o‘z navbatida ratsional sonlar haqiqiy sonlarning, haqiqiy sonlar esa kom-pleks sonlar to‘plamining additiv qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni qiyudagilar o‘rinli
(Z, +) ≤ (Q, +) ≤ (R, +) ≤ (C, +).
Bundan tashqari sonlar to‘plamlarining multiplikativ(ko‘paytirish amaliga nis-batan) gruppalari uchun ham quyidagilar o‘rinli
(Q \ {0}, ·) ≤ (R \ {0}, ·) ≤ (C \ {0}, ·).
Ma’lumki, n-tartibli teskarilanuvchi matritsalar to‘plami GL_n(C) va determi-nanti 1 ga teng bo‘lgan matritsalar to‘plami SL_n(C) ko‘paytirish amaliga nisbatan
gruppa tashkil qilib, SL_n(C) ≤ GL_n(C). Bundan tashqari GL_n(C) gruppaning qism gruppalari bo‘lgan quyidagi muhim gruppalar mavjud:
O(n) = {A ∈ GL_n(R) | AA^T = A^T A = E},
SO(n) = {A ∈ O(n) | det(A) = 1},
U(n) = {A ∈ GL_n(C) | AA^∗ = A^∗A = E},
SU(n) = {A ∈ U(n) | det(A) = 1},
bu yerda A^∗ = A^T , ya’ni A matritsaning elementlarini kompleks qo‘shmasi bilan
almashtirib, so‘ngra transponirlashdan hosil bo‘lgan matritsa.
Endi qism gruppaning xossalarini batafsilroq o‘rganishni boshlaymiz.
3.1-tasdiq. Gruppaning ixtiyoriy qism gruppasining birlik elementi, gruppa bir-lik elementi bilan ustma-ust tishadi.
Isbot. Aytaylik, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, e_H va e_G elementlar mos ravishda (H, ∗) va (G, ∗) gruppalarning birlik elementlari bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy a ∈ H element uchun
a ∗ e_H = e_H ∗ a = a.
Ikkinchi tomondan H ⊂ G ekanligidan
a ∗ e_G = e_G ∗ a = a
hosil bo‘ladi. Bu tengliklardan e_G ∗ a = e_H ∗ a tenglik kelib chiqadi. Gruppada
qisqartirish qoidasi o‘rinli bo‘lganligi uchun e_G = e_H ekanligini hosil qilamiz.
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, berilgan H ⊂ G to‘plam (G, ∗) gruppaning
qism gruppasi bo‘lishi uchun H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lishi, G gruppaning birlik elementi H to‘plamda yotishi va ∀a ∈ H elementning teskarisi a⁻¹ yana H to‘plamga tegishli bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremada esa, yuqorida aytilgan shartlarni umumiy bitta shart bilan almashtiruvchi tasdiq beriladi.
3.1-teorema. (G, ∗) gruppaning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat-ning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, (H, ∗) qism gruppa bo‘lsin, u holda ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun b⁻¹ ∈ H bo‘lib, bundan esa a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.