3-Mavzu. Tekislikda elliptik geometriya. Tekislikda giperbolik geometriya. Tekislikda to‘qqiz geometriya

Aksioma 1: Tekislikdagi ikki to„g„ri chiziq faqat bir nuqtada kesishadi.
Agar biz bu tushunchani aksioma sifatida qabul qilsak, quyidagi tasdiq 
o„rinli bo„ladi. 
Teorema 1: Ikki nuqtadan faqat bitta to„g„ri chiziq o„tadi. 
Isbot qilish uchun tekislikdagi va – nuqtadan ikkita 
va 
to„g„ri 
chiziqlar o„tadi deb hisoblaylik. U holda, va nuqtalarning har biri va
to„g„ri chiziqlarga tegishli bo„lishi kerak ya‟ni, 
– to„g„ri chiziqlar ikki 
– 
nuqtalarda kesishadigan bo„ladi. Bu tasdiq ikki 
– nuqtadan ikki 
– to„g„ri 
chiziq o„tishini ko„rsatadi. Bu esa qabul qilgan aksiomamizga zid bo„ladi. Hosil 
qilingan ziddiyat ikki to„g„ri chiziqning faqat bitta nuqtada kesisha olishini 
ko„rsatadi va teoremaning isbotini beradi. 
Biz yangi kiritgan aksiomamizda to„g„ri chiziqlar faqat bir nuqtada kesishadi 
deb hisobladik. Bu aksioma yangi “ikki nuqtadan bitta to„g„ri chiziq o„tadi” – 
degan fikrni teorema shaklida isbot qilish imkonini beradi. 
Mavzu avvalida “agar to„g„ri chiziqlar kesishsa” degan shartni ishlatdik. 
Tabiiyki, “to„g„ri chiziqlar kesishmasachi” degan savol paydo bo„ladi. Maktab 
geometriyasida kesishmaydigan to„g„ri chiziqlarni “parallel” to„g„ri chiziqlar deb 
ataladi. Bu tushunchalar Yevklid yoki Yevklid tekisligi bilan asosiy aksiomalari bir 
xil bo„lgan “Galiley”, “Minkovskiy” tekisliklarida bir xil. Ammo tekislikda 
Yevklid geometriyasidan farqli bo„lgan geometriyalar borki, ularda “parallellik” 

---

atamasi “kesishmaydi” atamasi bilan bir xil emas. Bu masalaga biz keying 
mavzularda yana qaytamiz va ularni asoslab beramiz.
Geometriya fanida shunday “Proyektiv geometriya” deb atalgan bo„lim 
borki, bunda har qanday ikki to„g„ri chiziq kesishadi deb hisoblanadi. Bunda 
Yevklid ma‟nosidagi o„zaro parallel bo„lgan to„g„ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi 
va u nuqtani “cheksiz uzoqlashgan nuqta” – deb hisoblanadi. 
“Proyektiv geometriya” – o„zi alohida o„rganishni talab etadigan tekislikdagi 
geometriyani tushuntirishda fazoda foydalanadigan va nuqtadan proyeksiyalash 
tushunchalari bilan bog„liq fandir. Bu fanga qiziqqan o„quvchilardan yuqorida 
keltirilgan adabiyotlar va o„zbek tilida mavjud adabiyotlar bilan tanishishni tavsiya 
etamiz.
Biz ushbu qo„llanmada “Proyektiv tekislik” tushunchasidan to„g„ridan-
to„g„ri foydalanamiz. Buning uchun “parallel” to„g„ri chiziqlar tekislikning cheksiz 
uzoqlashgan nuqtasida kesishadi degan tasdiqdan foydalanish uchun tekislikka – 
cheksiz uzoqlikdagi nuqtani qo„shib o„rganamiz. 
Demak,