3-Mavzu. Tekislikda elliptik geometriya. Tekislikda giperbolik geometriya. Tekislikda to‘qqiz geometriya

Ta’rif 1: Tekislik va unga qo„shilgan – cheksiz uzoqlashgan nuqta, 
proyektiv tekislik – deb ataladi. Ya‟ni, 
. 
Buni Yevklid planimetriyasi yordamida tushunish uchun parallel to„g„ri 
chiziqlar qaysi yo„nalishda bo„lishidan qat‟iy nazar cheksiz uzoqlashgan nuqtada 
kesishadi va bu – nuqta bitta bo„ladi deb hisoblashimiz kerak. 
Demak, 
– proyektiv tekislikda har qanday to„g„ri chiziq kesishadi. 
Shuning uchun Yevklid tekisligidagi teoremada aniqlangan “agar to„g„ri chiziqlar 
kesishsa” – degan shartni proyektiv tekislikda olib tashlasa bo„ladi. 
Demak, ushbu ikki tushunchani hosil qilamiz: 
I. Ikki “to„g„ri chiziq” bir nuqtada kesishadi. 
II. Ikki “nuqta” dan bir “to„g„ri chiziq” o„tadi. 
Agar bu ikki tushunchada “nuqta” atamasini “to„g„ri chiziq” atamasi bilan 
almashtirsak, bu tushunchalar mazmuni bir xil bo„lib qoladi. 
Biz shu bo„limgacha “nuqta” – ni birinchi “to„g„ri chiziq” ni ikkinchi 
boshlang„ich tushuncha deb hisoblab kelayotgan edik. Proyektiv geometriyada esa 
bu tushunchalarni o„rnini almashtirish mumkin ekan. Bunda agar “ikki to„g„ri 
chiziq bir nuqtada kesishadi” – degan fikrni aksioma sifatida qabul qilsak, 
yuqorida isboti keltirilgan ikki nuqtadan bir to„g„ri chiziq o„tishi haqidagi 
teoremani hosil qilish mumkin ekan. 
Endi bizga 
va 
– ikkita proyektiv tekislik berilgan bo„lsin. Ularning har 
birida boshlang„ich tushuncha bo„lgan nuqta va to„g„ri chiziqlar bor. Tegishliligiga 

---

qarab “nuqta”, “to„g„ri chiziq” larni mos ravishda 1 va 2 indekslar bilan 
belgilaymiz. 
Bu ikki proyektiv tekisliklar 
– orasida shunday o„zaro bir qiymatli 
akslantirish o„rnataylikki, ularning biridan olingan “nuqta” ga ikkinchisidan 
olingan “to„g„ri chiziq” mos kelsin, ya‟ni 
,
Bu yerda 
– nuqtalar, 
– to„g„ri chiziqlar. 
Tabiiyki, 
va 
tekisliklarning har birida qandaydir geometrik 
tushunchalar paydo bo„ladi. Hosil bo„lgan geometriyalarni mos ravishda va 
bilan belgilaylik. Albatta bu moslikda ikkala geometriyada “nuqta”, “to„g„ri 
chiziq” atamalarining o„rni almashib qoladi va bu tushunchalar bilan bog„liq 
geometrik atamalar orasidagi yangi bog„liqlik paydo bo„ladi. Bu moslikdan 
ba‟zilarini quyidagi jadvalda keltiramiz: 
- geometriya 
- geometriya 
Nuqta 
To„g„ri chiziq 
To„g„ri chiziq 
Nuqta 
Ikki nuqtadan bir to„g„ri chiziq o„tadi 
Ikki to„g„ri chiziq bir nuqtada kesishadi 
Bir nuqtadan chiquvchi ikki nur 
burchak deb ataladi 
To„g„ri chiziqda yotuvchi ikki nuqta 
to„g„ri chiziqdan kesma ajratadi 
Burchak 
Kesma 
Kesma 
Burchak 
Uch 
nuqtani 
tutashtiruvchi 
kesmalardan uchburchak hosil bo„ladi 
Uch to„g„ri chiziq kesishib uchburchak 
hosil qiladi 
Bu jadvalni istalgancha davom ettirish mumkin, natijada bu tekisliklarda 
hosil qilingan geometrik tasdiqlar o„zaro bir birini mazmunan takrorlayotganini 
ko„rishimiz mumkin. Bu takrorlash asosida “nuqta” va “to„g„ri chiziq” – asosiy 
tushunchalarning o„rnining almashgani yotadi. 
Shuningdek, “kesma uzunligi” bilan “burchak kattaligi” – tushunchalari ham 
biri ikkinchisiga o„tib qoladi. Hosil qilingan tushunchalarni proyektiv qo„shma 
tushunchalar deb ataymiz. 
Ta’rif 2: Tekislikda hosil qilingan va 
geometriyalar o„zaro proyektiv 
qo„shma geometriyalar deb ataladi. 

---

Moslik bo„yicha keltirilgan jadvaldan ko„rish mumkinki, “masofa” “burchak 
kattaligi” – bilan almashib qolar ekan.