3. операторный метод расчета переходных процессов

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины
Пусть оригинал является постоянной величиной f(t)=U₀ =const. Вычислим интеграл Лапласа: .
Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор «р».
Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.
Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона: C(p)=pF(p).
Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.
Изображение показательной функции
Если , то изображение:

Таким образом: .
Отсюда вытекает ряд важных следствий. Положив  =j, получим
Функции е ^t соответствует изображение:
Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например, ЭДС , то E(p), при , равно:
.


Изображение по Лапласу комплексной величины
Пусть , тогда , и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения . Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа: .
Изображение по Лапласу производной функции времени
Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f (t) при t=0 равно f(0).
Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и ,
Имеем:
Следовательно, .
Но a
Таким образом,


Изображение напряжения на индуктивности
Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:
По формуле определим изображение производной тока:
где t (0)- значение тока i при t=0.
Следовательно, . Если i(0)=0, то