3. операторный метод расчета переходных процессов

3.11. Разложение сложной дроби на простые составляющие

Из курса матема­тики известно, что дробь

при условии, что n , (*) или ,
где x_k--корни уравнения m(x)=0.
Для определения коэффициента A₁ умножим обе части уравнения (*) на (x-x₁). Получим: (**)
Рассмотрим выражение (**) при х стремящемся к х₁. Правая часть уравнения дает А₁, левая часть представляет собой неопределенность, так как множи­тель (x-x₁) при хх₁ дает нуль и знаменатель М(х) при х=х₁тоже дает нуль [х₁есть корень уравнения
М (х)=0].
Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

где М'(х) — производная от М(х) по х;
М'(х₁)— значение М'(х) при х=х₁, N (х₁)— значение N (х) при х=х₁
Следовательно, при х->х1получаем уравнение: .
Аналогично,
Таким образом:
Или .


3.12. Дополнения к операторному методу

1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени f(t) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

(а)
Функция F (р) аналогична в области Re(p)>v и стремится к нулю при |р| .
При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции F(p):
(б)
Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается в бесконечность. В случае, когда F (р) = N (р)/М (р), полюсами явля­ются корни уравнения М(р)=0.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равна сумме вычетов (Res), подынтегральной функции во всех ее полюсах, то есть:
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2j контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции в простом полюсе p_k равен . Поэтому
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М (р)=0 имеет q простых корней (р₁, р₂,..., р_q), корень р_r кратности r и корень p_s кратности s. В этом случае формулу разложения запишем следующим образом:



Вывод: Если в расчёте напряжения на С или тока в L в начальных условиях не равных нулю, то в таком расчёте фиктивные операторные источники начальных условий необходимо домножать на i.: ; .

3.13 Практическое приложение к расчету переходных процессов

операторным методом

3.1^* Рассчитать ток в цепи (рис.3.12) операторным методом после размыкания ключа, если U₀=20 B; r=10 Ом; L=0,5 Гн.

Решение:
Записываем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для операторных изображений токов и напряжений:
I(p)(2r+Lp)-i(0-)L=U(p). В этом уравнении:
i(0-)=U₀/r=2A; U(p)=U₀/p=20/p.
С учетом числовых данных, имеем:
Для перехода к оригиналу тока используем теорему разложения. Обозначим числитель дроби М(р), а знаменатель – N(p).

Корни знаменателя определяем, приравнивая N(p) к нулю: p(20+0,5p)= 0; p₁= 0; p₂= - 40.
Производная знаменателя: .
Подставляем значения корней в М(р) и :
Отсюда ток равен: .
3.2. U₀=50 B; r=100 Ом; С=100 мкФ; Рассчитать ток в цепи (рис. 3.13) и напряжение на конденсаторе после размыкания ключа, используя операторный метод.
3.3. Найти ток в цепи (рис. 3.14) операторным методом, если U₀= 120 B; r = 40 Ом; L= 0,6 Гн.
3.4. Рассчитать выходное напряжение четырёхполюсника (рис.3.15,а), если на входе напряжение спадает в соответствии с графиком (рис. 3.15,б) и качественно построить график u₂(t).

3.5. Получить формулу для u₂(t) в общем виде, если на входе цепи (рис. 3.16) действует напряжение u₁(t)=U₀e^-t. Качественно построить график u₂(t).

3.6.^* Рассчитать напряжение на конденсаторе (рис.3.17) при замыкании ключа. Дано: r₁=100 Ом; L=0,1 Гн; С=20 мкФ; r₂=50 Ом; U₀=150 B. Задачу решить операторным методом.
Решение: В данном случае удобнее всего привести начальные условия к нулевым. С этой целью определим напряжение на разомкнутом ключе.
Это напряжение будет равно U_c(0), то есть,
u_аб=u_c(0)=150 B.
Находим операторное сопротивление цепи относительно зажимов а – б. (Источник при этом закорачивается).

Учитывая, что операторное изображение напряжения на разомкнутом ключе равно:
U_аб(p)=U_аб/p=U₀/p,
Записываем выражение для тока I₃(p):
Подстановка численных значений приводит к выражению:

Оригинал тока i₃₍t) ищем по теореме разложения. Обозначим числитель дроби –М(р), а знаменатель N(p):
Находим корни знаменателя:

Производная знаменателя:
Подставляем корни в М(р) и

Ток i₃(t) то теореме разложения будет равен:

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулу Эйлера:

Напряжение на конденсаторе, которое необходимо найти по условию задачи:

Для расчёта кривой u_c(t) удобнее градусы перевести в радианы и записать формулу в виде:

Таблица значений u_c(t):

t^.10^-3, c	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
uc, B	150	95,1	63,3	48,6	43,5	43,1	44,5	46,3	47,8

П
римечание. Хотя, судя по формуле u_c(t), переходный процесс должен иметь колебательный характер, однако на графике колебаний не замечено, что объясняется значительным по величине коэффициентом затухания (-1000) по сравнению с частотой колебаний (707). При этом оказывается, что время переходного процесса меньше периода колебаний
Д
ля того, чтобы колебания были выражены в кривой переходного процесса, необходимо, чтобы коэффициент затухания был в 2 – 3 раза меньше, чем угловая частота колебаний.
3.7. Рассчитать ток, потребляемый цепью (рис. 3.19) от источника, после размыкания ключа операторным методом, если: U₀=20 B; r₁=20 Ом; r₂=20 Ом; L=0,05 Гн; С=100 мкФ.
3.8. Найти u_L(t) (рис. 3.20) после размыкания ключа операторным методом, если U₀=150 B; r=75 Ом; L=0,01 Гн; С=20 мкФ.
3.9. Напряжение на входе цепи (рис.3.21) u=120sin(314t+90⁰). Параметры цепи: r=20 Ом; L=0,1 Гн. Рассчитать ток в цепи после размыкания ключа операторным методом.
3.10. Рассчитать ток и напряжение на конденсаторе (рис.3.22) операторным методом, если u=200sin(314t+45⁰),B; r=100 Ом; С=120 мкФ.
3
.11. Рассчитать напряжение на конденсаторах в цепи (рис. 3.23), если: U₀=100 B; r=100 Ом; С₁=С₂=100 мкФ.
Примечание: Начальное значение напряжения на конденсаторе, последовательно к которому подключён рубильник равно нулю.