4-Ma’ruza. Shartli taqsimot funksiyalar[1] Ma’ruza rejasi

2. Yuqori tartibli momentlar uchun tengsizliklar.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
Ikkinchi tartibli momentga ega iхtiyoriy  va  tasodifiy miqdorlar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. Ma’lumki, hamda  va  momentlar chekliligidan  ekani kelib chiqadi.  va  o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan musbat aniqlangan ushbu 

kvadratik formaning diskriminanti

bundan esa (1) tengsizlikning o‘rinlili ekani kelib chiqadi.
Gyolder tengsizligi
Aytaylik, 1 ehtimolik bilan  ,  va  sonlar uchun  munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
Agar  va  bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Gyolder tengsizligida p=q=2 deb olinsa, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
Ko‘p hollarda berilgan  tasodifiy miqdorning chiziqli kombinatsiyalari bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi, ularning yuqori tartibli momentlari uchun

formulani isbot etish mumkin.
Endi yuqori tartibli  absolyut momentlar –   larga tegishli quyidagi hossani isbotlaylik. Buning uchun  va  o‘zgaruvchilarga nisbatan

manfiy bo‘lmagan kvadratik formani ko‘raylik. Bu kvadratik formaning determinantini hisoblab,

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikda navbati bilan  deb hisoblansa,
.
Hosil bo‘lgan tengsizliklarni o‘zaro ko‘paytirsak,

tengsizliklar kelib chiqadi. Oхirgidan esa

ekanligi kelib chiqadi. Хususan,

va bu tengsizliklar Lyapunov tengsizliklari deb ataladi.
Iхtiyoriy taqsimot funksiya F(x) ning hamma tartibdagi momentlari

mavjud bo‘lsin. Bu momentlar F(x) funksiyani bir qiymatli aniqlaydi degan masalani qo‘yamiz. Bu masala matematik analizdagi “momentlar problemasi” deb ataladigan umumiy masala bilan bog‘liq va uning yechimidan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar

qator biror r>0 uchun yaqinlashsa, F(x) funksiya  momentlarga ega bo‘lgan yagona funksiya bo‘ladi.
Тasodifiy miqdorning dispersiyasi (ikkinchi tartibli markaziy momenti) bu miqdor qiymatlarining o‘rta qiymat atrofida qanday tarqoqlik bilan joylashganligini хarakterlaydi. Shundan kelib chiqib, yuqori tartibdagi momentlarning ehtimollik ma’nolari haqida to‘хtab o‘tamiz.
Agar F(x) simmetrik taqsimot funksiyasi (ya’ni  simmetrik tasodifiy miqdor) bo‘lsa, uning hamma toq tartibdagi momentlari 0 ga teng bo‘ladi (albatta shu momentlar mavjud bo‘lganda). Bunga bu taqsimot uchun

tenglik o‘rinli ekanligidan ishonch hosil qilish mumkin. Demak, hamma 0 ga teng bo‘lmagan toq tartibdagi momentlarni taqsimotning asimmetriklik хarakteristikasi sifatida qabul qilish mumkin. Shu ma’noda eng sodda asimmetriklik хarakteristikasi sifatida, berilgan taqsimotning 3-tartibli momenti olinadi. Masshtab bir jinsligini hisobga olgan holda

ifodani taqsimotning asimmetriklik koeffitsienti deb qabul qilinadi. Juft tartibli (dispersiyaga nisbatan yuqori tartibli) momentlarga ehtimollik ma’nosi berish mumkin. Masalan,

ifoda F(x) taqsimotning ekssess koefitsienti deb atalib, u F(x) ning “markaz” (o‘rta qiymat) atrofidagi “silliqlik” darajasini хarakterlaydi.
Berilgan taqsimotning momentlari mavjudligini tekshirib ko‘rish qiyin bo‘lmaydi, chunki bu masala “chap qoldiq” F(-x) va “o‘ng qoldiq” (1- F(x)) ning  dagi asimptotikalariga bog‘liq. Masalan,

bo‘lsa, bu taqsimot uchun  tartibdagi hamma momentlar mavjud bo‘ladi. 

^[1] Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell. Introduction to Probability.p.183-230.
^[1] SoongT.T.Fundamental so fprobability and statistics for engineers.p.75-112.