4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi reja

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishning Gauss usuli
noma’lumli ta chiqziqli tenglamalar sistemasini yechishning qulay usullaridan biri – noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishga (chiqarishga) asoslangan Gauss usulini ko‘rib chiqamiz.
noma’lumli ta chiqziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
(4.9)
(4.1) sistemani Gauss usuli bilan yechish ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda sistema pog‘onasimon ko‘rinishga keltiriladi.
Pog‘onasimon sistema deyilganida

ko‘rinishdagi sistema tushuniladi, bu yerda
Ikkinchi bosqichda noma’lumlar pog‘onasimon sistemadan ketma-ket topiladi.
1-bosqich. Sistemada quyidagi almashtirishlarni bajaramiz: birinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonini ga (agar bo‘lsa, u holda bu tenglama sistemaning noma’lum oldidagi koeffitsiyenti nolga teng bo‘lmagan tenglamasi bilan almashtiriladi) bo‘lamiz. Keyin hosil qilingan tenglamani ga ko‘paytirib, - tenglamaga qo‘shamiz. Bunda sistema tenglamalarining ikkinchisidan boshlab qatnashgan hadlar yo‘qatiladi va (4.1) sistema quyidagi

ko‘rinishga keladi:

bu yerda sistemaning birinchi almashtirishlardan
keyin hosil qilingan koeffitsiyentlari va ozod hadlari.
Sistemada noma’lum oldidagi koeffitsiyenti birga teng bo‘lgan tenglama bor bo‘lsa, bu tenglamani birinchi o‘rinda yozish orqali hisoblashlar osonlashtirilishi mumkin.
Shu kabi deb, sistemaning uchinchi tenglamasidan boshlab noma’lumni yo‘qotamiz va bu jarayonni mumkin bo‘lguniga qadar davom ettiramiz.
Bu bosqichda, agar:
- ko‘rinishdagi tengliklar paydo bo‘lsa, u holda bu tengliklar tashlab yuboriladi.
- ko‘rinishdagi tengliklar paydo bo‘lsa, u holda jarayon to‘xtatiladi, chunki berilgan sistema birgalikda bo‘lmaydi.
2-bosqich. Pog‘onasimon sistemani yechamiz. Pog‘onasimon sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng yoki no’malumlar sonidan kichik bo‘lishi mumkin. Shu sababli bu sistema yagona yoki cheksiz ko‘p ychimga ega bo‘lishi mumkin. Agar sistema uchburchak ko‘rinishga kelsa, ya’ni bo‘lsa, sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Agar sistema trapetsiya
ko‘rinishga kelsa, ya’ni bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
4.1-misol. tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.


Yechish. Sistemada quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:
- birinchi va uchinchi tenglamalarning o‘rinlarini almashtiramiz;
- ga ko‘paytirilgan birinchi tenglamani ikkinchi tenglamaga va ga ko‘paytirilgan birinchi tenglamani uchinchi tenglamaga hadma-had qo‘shamiz;
- ikkinchi va uchinchi tenglama hadlarini mos ravishda 7 ga va ga
bo‘lamiz
- ning qiymatini birinchi va ikkinchi tenglamalarga qo‘yamiz; ikkinchi
tenglamadan ni topib, uning qiymatini birinchi tenglamaga qo‘yamiz;
- sistemaning yechimlarini ketma-ketlikda yozamiz.



Gauss usulining 1-bosqichini sistemaning o‘zida emas, balki uning kengaytirilgan matritsasida bajarish qulaylikka ega. Masalan, yuqoridagi
tenglamaning 1-bosqichi quyidagicha bajariladi:
~ ~ ~
Xosmas tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechishda bu usulning boshqa bir turi Jordan-Gauss usuli qo‘llaniladi. Bu usulda kengaytirilgan matritsa ustida elementar almashtirishlar bajariladi va matritsa o‘rnida matritsa hosil qilinadi, ya’ni u ko‘rinishga keltiriladi. Bunda oxirgi
kengaytirilgan matritsadagi matritsa tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi.
4.2-misol. sistemani Gordan-Gauss usuli bilan yeching.
Yechish.
~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
~
Demak,
Shunday qilib, Gaussning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usulida (4.9) sistema tenglamalardan ayrimlariga muvofiq sonlarga ko‘paytirilgan boshqa tenglamalarni qo‘sish orqali yuqori uchburchak (ayrim hollarda trapetsiya) shaklga keltiriladi va hosil qilingan uchburchak sistema teckari o‘rniga qo‘yish orqali yechiladi. Bu usul matematik nuqtai-nazardan sistemani uning matritsasini yoyish orqali yechish algoritmiga ekvivalent ¹.

Gauss usulining LU yoyishga asoslangan algoritmi
To‘g‘ri o‘rniga qo‘yish. matritsaning yoyilmasi topiladi;
Teskari o‘rniga qo‘yish.
sistema yechiladi.

4.3-misol. tenglamalar sistemasini yoyish asosida yeching.
Yechish.
Avval tenglamani yechamiz:
.
Bundan

Endi tenglamani yechamiz:
,

Sistema trapetsiyasimon ko‘rinishda. Demak, u cheksiz ko‘p yechimga ega. Bunda ning tayin qiymatida sistema xususiy yechimga aga bo‘ladi, masalan,
da
yoki
da
Agar sistema ta noma’lumdan va ta chiziqli tenglamadan iborat hamda xosmas bo‘lsa, u holda bu sistemaning yechimi yoyish asosida quyidagi formulalar bilan topiladi ²:
(4.10)
(4.11)
4.4-misol. tenglamalar sistemasini yoyish asosida yeching.
Yechish. Avval va matritsalarning elementlarini topamiz.
Ularni (1.3.2) va (1.3.3) formulalar bilan aniqlaymiz:





Endi va larni (4.9) va (4.10) formulalar bilan topamiz:



Demak,