4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi reja

1- natija. Agar birgalikda bo‘lgan sistema matritsasining rangi noma’lumlar soniga teng bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.
2- natija. Agar birgalikda bo‘lgan sistema matritsasining rangi noma’lumlar
sonidan kichik bo‘lsa, u holda sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
(4.1) sistema birgalikda bo‘lishining zarur va etarli shartiga va bu sistemani yechishning Gauss usuliga asosan noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish va yechish quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
Tekshirish (Gauss usuli): sistemaning kengaytirilgan matritsasi (mos ravishda asosiy matritsasi) elementar almashtirishlar yordamida pog‘onasimoh ko‘rinishga keltiriladi (pog‘onasimon matritsa – bu pog‘onasimon sistemaning matritsasi).
Bunda:
- agar bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘lmaydi;
- agar , ya’ni sistemaning rangi uning noma’lumlari soniga teng bo‘lsa, sistema birgalikda va aniq bo‘ladi;
- agar , ya’ni sistemaning rangi uning noma’lumlari sonidan
kichik bo‘lsa, sistema birgalikda va aniqmas bo‘ladi.
Yechish: Matritsaning rangi va noma’lumlari soni taqqoslanadi.
Bunda:
- agar bo‘lsa, ya’ni sistema bazis minorining tartibi noma’lumlar soni bilan ustma-ust tushsa, no’malumli n ta chiziqli xosmas tenglamalar sistemasi yechiladi;
- agar bo‘lsa, sistemada ta erkin noma’lumlar hosil qilinadi. Bunda bazis (asosiy) noma’lumlar, erkin noma’lumlar bo‘ladi.
Erkin noma’lumlarni sistema tenglamalarining o‘ng tomoniga o‘tkazamiz:
(4.14)
yoki matritsa ko‘rinishida
(4.15)
bu yerda


(4.14) sistema berilgan (4.1) sistemaga ekvivalent va uning yechimi yuqoridan qaralgan usullardan istalgan biri bilan topiladi.
Erkin yechimlar

qiymatlar qabul qilsin.
U holda (4.14) sistema
(4.16)
ko‘rinishni oladi va bazis noma’lumlar qiymatlar orqali ma’lum ko‘rinishda ifodalanadi:

Bir jinsli bo‘lmagan sistemaning yechimini
(4.17)
ustun matritsa ko‘rinishda yozish mumkin.
Erkin noma’lumlar istalgan son qiymatini qabul qilishi mumkin. Shu sababli (4.1) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
(4.16) ifoda (4.1) sistemaning umumiy yechimini aniqlaydi. Bundan
o‘garmaslarning tayin qiymatlariga sistemaning xususiy yechimlari mos keladi.
4.5-misol. tenglamalar sistemasini tekshiring va yeching.
Yechish. Tekshirish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi ustida elementar
almashtirishlar bajaramiz:
~ ~
~
. Demak, sistema birgalikda emas.
4.6-misol. tenglamalar sistemasini tekshiring va yeching.
Yechish. Tekshirish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi ustida elementar almashtirishlar bajaramiz:
~
~ ~ ~
~ ~ ~
~
Yuqorida keltirilgan belgilash -stun bu ustunga songa ko‘paytirilgan -ustunni qo‘shish natijasida hosil qilinganini bildiradi.
. Demak, sistema birgalikda va aniqmas.
Yechish. va noma’lumlarni bazis deb olamiz va ekvivalent sistemani yozamiz:

va deb berilgan sistemaning umumiy yechimini topamiz:

bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmaslar.