4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi reja

3. noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasini
tekshirish va yechish
ta noma’lumdan va ta chiziqli tenglamadan iborat (4.1) sistemani qaraymiz. Bu sistemaning matritsasi , kengaytirilgan matritsasi bo‘lsin. Bu matritsalar mos ravishda (4.2) va (4.3) tengliklar bilan ifodalanadi. Quyida (4.1) sistema birgalikda bo‘lishining zarur va etarli shartlarini aniqlovchi teorema bilan tanishamiz. Bu teorema rus va o‘zbek tilida yozilgan adabiyotlarda Kroniker-Kapelli teoremasi deb yuritiladi.
1-teorema. (4.1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun sistema asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng, ya’ni bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. (4.1) sistema birgalikda bo‘lsin. Bu noma’lumlarning qandaydir tartiblangan qiymatlari sistema tenglamalarini ayniyatga aylantirishini anglatadi. matritsa ustida quyidagi almashtirishlarni bajaramiz: uning oxirgi ustuniga ga ko‘paytirilgan birinchi ustunni qo‘shamiz, keyin ga ko‘paytirilgan ikkinchi ustunni qo‘shamiz va shu kabi davom ettirib, oxirida ga ko‘paytirilgan - ustunni qo‘shamiz. Natijada, sistema
yechimining ta’rifiga ko‘ra, matritsa oxirgi ustun elementlari nollarga aylangan quyidagi matritsaga o‘tadi:
~
Elementar almashtirishlar matritsaning rangini o‘zgartirmaydi, ya’ni bo‘ladi. matritsaning oxirgi ustuni nollardan iborat bo‘lgani uchun Bundan kelib chiqadi.
Yetarliligi. bo‘lsin. (4.1) sistema birgalikda ekanini ko‘rsatamiz. matritsaning noldan farqli -tartibli minorini sistema tenglamalari va noma’lumlarining o‘rinlarini almashtirish orqali chap yuqori burchakda joylashtirish mumkin. Bu minor matritsa uchun ham minor bo‘ladi. Shu sababli noma’lumlarning biror qiymatlari dastlabki ta tenglamani va shu bilan birga qolgan -tenglamani ham qanoatlantiradi, bu yerda . U holda (4.1) sistemada oxirgi ta tenglamani tashlab yuborish va uni
(4.12)
sistema bilan almashtirish mumkin. Bunda ikki hol bo‘lishi mumkin: yoki ( bo‘lmaydi, chunki matritsa jami ta ustunga ega).
bo‘lganda (4.11) sistemaning noma’lumlari soni tenglamalari soniga teng bo‘ladi. Bundan tashqari sistema determinanti nolga teng emas. Shu sababli (4.11) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Bundan bu sistemaga ekvivalent (4.1) sistemaning birgalikda va aniq sistema bo‘lishi kelib chiqadi.
bo‘lganda (4.12) sistemani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(4.13)
Bu sistemaning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant nolga teng emas.
U holda noma’lumlarga biror qiymatlar berib, (4.12) sistemaning yechimini topsa bo‘ladi.
noma’lumlarga istalgan qiymatlar berish mumkin. Shu sababli (4.12) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi va bu sistemaga ekvivalent (4.11) sistema birgalikda va aniqmas sistema bo‘ladi. Teorema to‘liq isbotlandi.
Isbotlangan teoremdan quyidagi natijalar kelib chiqadi.