[4] topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga

1.1.18.Natija. Agar - ochiq toʻplam va boʻlsa, u holda . Xususan, agar va oʻzaro kesishmaydigan ochiq toʻplamlar boʻlsa, u holda boʻladi.
Isboti. 1) Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik, shunday nuqta mavjud boʻlsinki, boʻlsin. Bundan va ga ega boʻlamiz. 1.1.4 tasdiqqa koʻra kelib chiqadi. Bu esa qilgan farazimizga zid.
2) Bizga va oʻzaro kesishmaydigan ochiq toʻplamlar berilgan boʻlsin. Faraz qilaylik kesishsin, u holda shunday nuqta mavjud boʻlsinki, boʻladi. Bundan va ga ega boʻlamiz. dan nuqtaning shunday atrofi mavjudki, boʻladi. dan va nuqtaning urinish nuqtaligidan kesishmaning boʻsh emasligi kelib chiqadi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa natija shartiga zid. Natijaning qolgan qismi 2) kabi isbotlanadi. 1.1.1 natija isbotlandi.
1.1.19. Tasdiq. Yopilma operatori quyidagi xossalarga ega:
(SO1) .
(SO2) .
(SO3) .
(SO4) .
Isboti. (SO1) va (SO2) xossalar taʼrifdan bevosita kelib chiqadi.
(SO3) xossaning isbotini koʻrsatamiz. Aytaylik, boʻlsin, u holda nuqtaning ixtiriy bazasi va ixtiyoriy ochiq atrofi uchun ga ega bo‘lamiz. Bundan yoki yoki ekanligi kelib chiqadi. Birinchi holda , ikkinchi holda esa boʻladi. Bu ikki munosabatlardan ni hosil qilamiz.
Aksincha, boʻlsin. U holda yoki , yoki boʻladi. Birinchi yoki ikkinchi hollarda ixtiyoriy ochiq atrof uchun ga ega boʻlamiz. Bundan ekanligi kelib chiqadi.
(SO4) xossani koʻrsatamiz. ekanligidan kelib chiqadi. Teskarisini koʻrsatamiz. Aytaylik boʻlsin. U holda nuqtaning ixtiyoriy atrofi toʻplam bilan kesishadi, yaʼni boʻladi. Ixtiyoriy nuqtani olamiz. Bu nuqtaning atrofi sifatida atrofni olamiz. U holda boʻladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, . 1.1.5 tasdiq isbot boʻldi.