[4] topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga

1.1.20.Ta’rif. [4] Biror nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, shart bajarilsa, u holda nuqtaga to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.
to‘plamning barcha ichki nuqtalari to‘plami bilan belgilaniladi.
1.1.21. Tasdiq. to‘plam ochiq bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. a) Faraz qilaylik to‘plam topologik fazoda ochiq bo‘lsin. 1.1.1 tasdiqga ko‘ra ixtiyoriy nuqta uchun shunday atrof topilib, bo‘ladi. Demak ekan.
b) Aytaylik, bo‘lsin. U holda ixtiyoriy nuqta uchun shunday atrof topilib, bo‘ladi. 1.1.1 tasdiqga ko‘ra ochiq to‘plam. 1.1.6 tasdiq isbotlandi.
1.1.22. Tasdiq. nuqta da yotishi uchun ning shunday atrofi topilib, shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. a) nuqta da yotsin. U holda ichki nuqta ta’rifiga ko‘ra nuqtaning shunday atrofi topilib, shart bajariladi.
b) nuqta shunday atrofga ega bo‘lib, shart bajarilsin. Bu esa ekanligini bildiradi. 1.1.7 tasdiq isbotlandi.
1.1.23. Tasdiq. Ixtiyoriy to‘plam uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
.
Isboti. a) Ixtiyoriy nuqtani olaylik, u holda nuqtaning shunday atrofi mavjudki, bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. O‘z navbatida bo‘ladi.
b) Aksincha, bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bundan nuqtaning shunday atrofi mavjudki, . Bundan esa ekanligi kelib chiqadi. Tasdiq 1.7 ga ko‘ra ga egamiz. Shunday qilib 1.1.8 tasdiq isbot bo‘ldi.
1.1.24.Tasdiq. operatori quyidagi xossalarga ega:
(IO1) .
(IO2) .
(IO3) .
(IO4) .
Isboti. (IO1) xossa o‘rinliligini ko‘rsatamiz. (O1) ga ko‘ra , ya’ni ochiq to‘plam. 1.6 tasdiqqa ko‘ra .
(IO2) xossani isbot qilamiz. bo‘lsin, u holda shunday atrof mavjudki, bo‘ladi. Bundan bo‘ladi. Natijada ekanligi kelib chiqdi.
(IO3) xossani tekshiramiz.
a) Ixtiyoriy nuqtani olamiz, u holda bu nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bo‘ladi. Bundan va ga ega bo‘lamiz. O‘z navbatida va ekanligi kelib chiqadi. Bundan .
b) Ixtiyoriy nuqtani olamiz. Bundan va bo‘ladi. U holda nuqtaning shunday va atroflari topiladiki, va bo‘ladi. deb olamiz. U holda . Bundan esa ekanligi kelib chiqadi.
(IO4) xossani isbotlaymiz. 1.1.8 tasdiqga ko‘ra, ixtiyoriy to‘plam uchun ga egamiz. Bu esa ixtiyoriy to‘plam uchun ochiq to‘plam ekanligini bildiradi. 1.1.6 tasdiqga ko‘ra . 1.1.9 tasdiq isbotlandi.
1.1.25.Ta’rif. [4] - nuqta to‘plamning chegaraviy nuqtasi deyiladi, agar uning ixtiyoriy atrofi to‘plam va to‘plam bilan kesishsa, ya’ni va shartlar bajarilsa.
to‘plamning chegarasini ko‘rinishda belgilaniladi. tenglikning o‘rinliligi 1.1.13 ta’rifdan kelib chiqadi.