5-mavzu. Aniq integral reja

1-teorema (funksiya integrallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u bu kesmada chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. kesmada integrallanuvchi funksiya bu kesmada chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda bu kesmaning istalgan bo‘linishida kesmalarning hech bo‘lmaganida bittasida funksiya chegaralanmagan bo‘ladi. Bu holda nuqtani turli usullar bilan tanlash orqali ko‘paytmani etarlicha katta qilish mumkin. Demak, integral faqat nuqtalarni tanlash hisobiga yig‘indi yetartlicha katta bo‘ladi va da hech bir limitga intilmaydi. Shu sababli funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lmaydi. Olingan ziddiyatdan teoremaning isboti kelib chiqadi.
2-teorema. (funksiya integrallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti). kesmada uzlukziz bo‘lgan funksiya bu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
Funksiyaning uzluksizligi uning integrallanuvchi bo‘lishini faqat yetarli sharti bo‘lad. Boshqacha aytganda kesmada uzilishga ega bo‘lgan, ammo bu kesmada integrallanuvchi funksiyalar mavjud bo‘lishi ham mumkin.
Shuningdek, funksiya integrallanuvchi bo‘lishinngi kuchsizroq shartlarini ifodalovchi quyidagi teoremalar o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema. kesmada uzlukziz bo‘lib, chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan funksiya bu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
4-teorema. kesmada monoton chegaralangan funksiya bu kesmada
integrallanuvchi bo‘ladi.


3. Aniq integralning geometrik va mexanik ma’nolari
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasiga qaytamiz. (14.2) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat. U holda (14.5) formuladan aniq integralning geometrik ma’nosi kelib chiqadi: agar funksiya kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda kesmada funksiyadan
olingan aniq integral chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga teng.
Misol
integralni uning geometrik ma’nosiga tayanib hisoblaymiz.
Bunda ning dan gacha o‘zgarishida tenglamasi bo‘lgan
chiziq aylananing yuqori bo‘lagidan iborat bo‘ladi. Shu sababli chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya doiraning yuqori qismidan tashkil topadi. Uning yuzi ga teng.
Demak,

Endi bosib o‘tilgan yo‘l masalasiga o‘tamiz. (14.3) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat bo‘lgani uchun (14.5) formuladan ushbu xulosaga kelamiz: agar funksiya , kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda tezlikdan vaqt oralig‘ida olingan aniq integral material nuqtaning dan gacha vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘liga teng.
Bu jumla aniq integralning mexanik ma’nosini anglatadi.