5-Mavzu. Lobachevskiy geometriyasi elementlari. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlar, ekvidistant va orisikl chiziqlar

Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi. Lobachevckiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.
2.1-teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.
I sbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan nuqtadan to’g’ri chiziq bilan (1- chizma) kesishmaydigan va to’g’ri chiziqlari o’tsin. to’g’ri chiziqda shunday nuqtani olamizki, bu nuqta va to’g’ri chiziq to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’sin. to’g’ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq bilan biror nuqtada kesishadi, nuqta bilan orasida yotadi. kesmaning ixtiyoriy nuqtasini olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydi. Haqiqatan ham, bilan to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, uchburchak va to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo’llasak, bilan kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.
Demak, kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun ga o’xshash cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar nuqtadan o’tib, bilan kesishmaydi.
Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari ham Lobachevskiy geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi endi ga teng emas.
2.2-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklari yig’indisi dan kichik.