6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

2-Misol. 
funksiyaning tasvirini toping. 
► Ma’lumki, 
. Agar bu yerda originalni 
differensiallash teoremasini qo’llasak 
|
yoki
. ◄ 
7-Teorema. (Originalni integrallash) Agar
bo’lsa, u holda 
(8) 
► Agar 
original bo’lsa,

---

6 
ham original bo’lib 
, tengliklar o’rinli. Agar
bo’lsa,
ni differensiallab, originalni differensiallash teoremasiga asosan
, ya’ni ga ega bo’lamiz. Demak
◄ 
8-Teorema. (Tasvirni differensiallash) Agar 
bo’lsa, u holda 
(9) 
► 
funksiya
(
funksiyaning o’sish tezligi) yarim 
tekislikda analitik bo’lganligi uchun, uning ixtiyoriy tartibdagi hosilasi mavjud. 
Shunga asosan
funksiyadan hosila olsak,
( 
)
( )
demak, 
 
 
(9) formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄ 
3-Misol.
funksiyaning tasvirini toping 
► Buning uchun 
funksiyalarning tasvirlarini yuqoridagi teoremaga 
asosan topamiz 
(
)
 
(
)
 
va hokazo bu jarayonni 
marta takrorlasak 
ni hosil qilamiz. Agar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak 
bo’ladi.◄ 
4-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini tasvirni differensiallash 
teoremasidan foydalanib hisoblang. 
►a) 
. Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan 
(
)
 
b) 
 
(
)
 
c) 
(
)
a) 

---

7 
(
)
munosabatlarni hosil qilamiz. ◄ 
9-Teorema. (Tasvirni integrallash) Agar 
va original 
bo’lsa, u holda 
(10) 
► 
bo’lsin. funksiyani ( yarim tekislikda 
analitik) differensiallab topamiz
Bu tenglikni 
da integrallasak 
 
1-Teoremaning natijasiga ko’ra
va
 
ya’ni 
◄ 
5-Misol. Integral sinus 
ning tasvirini toping: 
 
►9-Teoremaga asosan 
|
Oxirgi munosabatga originalni integrallash teoremasini qo’llaymiz, u holda 
(
) 
munosabatga ega bo’lamiz.◄ 
10-Teorema. (Originalning kechikish teoremasi) 
Agar 
va bo’lsa, u holda 
(11)
► 
ning tasvirini topish uchun integralda o’zgaruvchini 
almashtiramiz 
[ ]
|
|
. ◄ 

---

8 
Bu teoremada kechikish so’zining ma’nosi quyidagicha: 
va
bir xil funksiyalar bo’lib, farq shundaki, 
funksiya grafigi ga 
gisbatan
birlik o’ngga surilgan (1 rasm).
Demak, fizik jihatdan 
va funksiyalar bir xil jarayonni ifodalaydi 
faqatgina 
funksiya ifodalaydigan jarayon vaqtga kechikib boshlanadi.