6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

1-Teorema. Har qanday 
original funksiya uchun,
yarim 
tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi 
tasvir funksiya mavjud va ushbu 
yarim tekislikda 
analitik funksiyadan iborat, bu yerda
original 
funksiyaning o’sish ko’rsatgichi. 
► Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra |
|
. Agar 
bo’lsa | 
|
shuning uchun 
|
|
Bu yerdan
| 
|
|
|
Shunday qilib 
| | | 
|
 
Bu yerdan (1) integralning mutlaq yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni 
tasvir funksiya mavjud. ◄ 

---

4 
Natija. Agar 
original bo’lsa, u holda
► Agar
ning o’sish ko’rsatgichi
bo’lsa yuqorida 
isbotlanganiga ko’ra 
| |
Agar bu tengsizlikda 
da limitga o’tsak
.◄ 
Operatsion hisobning asosiy teoremalari 
Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin 
bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi 
mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir 
qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari 
ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi. 
2-Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar 
va
funksiyalarning 
tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 
nuqtalarda ustma ust tushadi. 
3-Teorema. (Chiziqlilik) Agar 
va bo’lsa, u 
holda ixtiyoriy 
va kompleks sonlari uchun 
(4) 
►Ta’rif bo’yicha 
funksiyaning originalini integralning 
chiziqliligidan foydalanib topamiz 
[ ]
[ ] 
◄ 
Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida 
funksiyaning tasvirini 
topamiz. 
( 
)
(
)
4-Teorema. (O’xshashlik) Agar 
bo’lsa, u holda ixtiyoriy 
uchun
(
) 
(5) 
► 
funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda
almashtirish bajaramiz: 
[ ]
(
) 
(5) munosabatni hosil qoldik.◄ 
5-Teorema. (Siljish) Agar 
bo’lsa, u holda 
(6) 
►Ta’rif bo’yicha 
ning tasvirini topamiz 
[ 
]

---

5 
[ 
]
◄ 
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 
ga ko’paytirish, tasvir 
argumentining 
qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar 
funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa,
funksiyaning tasvirini topish 
mumkin. Masalan,
6-Teorema. 
(Originalni 
differensiallash) 
Agar 
va 
bu originalning hosilalari bo’lsa, u holda
(7) 
►Ta’rifga ko’ra
[ 
]
Bu integralni bo’laklab integrallaymiz: 
, demak 
[ 
]
|
funksiyaning o’sish tezligi dan katta bo’lganligi uchun da 
| 
| . Shuning uchun
. 
ning tasvirini topish uchun bu usulni ikki marta qo’llaymiz. Agar 
tasviri uchun bu usulni marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄ 
Agar 
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, (7) formula soddalashib
ko’rinishga keladi. Xususan