6-Ma’ruza. Fizik kattaliklarning vaqt bo‘yicha o‘zgarishi

6-Ma’ruza.
Fizik kattaliklarning vaqt bo‘yicha o‘zgarishi.

1.Klassik mexanikada koordinata va impuls.

2.SHryodenger tenglamasi.
3.Zarrachalarning ehtimolli oqimi va ehtimolli zichligi.
4.Saqlanish qonunlari.
5.O‘zluksizlik tenglamalari.


1.Klassik mexanikada koordinata va impuls.
Bundan oldingi ma’ruzada, agar zarrachaning biror vaqt momentidagi to‘lqin funksiyasi ma’lum bo‘lsa, uning shu momentdagi har qanday fizik kattalikning ehtimolli taqsimotini aniqlash mumkin deb aytgan edik. Lekin hozircha eng muhim narsa, ya’ni vaqt o‘tishi bilan to‘lqin funksiyasining o‘zgarishini va shu bilan birga, fizik kattalikning ehtimollik taqsimotlari vaqt davomida qanday o‘zgarishini bilmaymiz. Aniqki, zarra holatining vaqt bo‘yicha o‘zgarishi unga ta’sir qiluvchi kuchga bog‘liq bo‘lishi kerak. SHuning uchun kvant mexanikasida to‘lqin funksiyasini vaqt bo‘yicha o‘zgarishini boshqaruvchi, klassik mexanikasidagi Nyuton qonunlaridek, dinamik qonun topish zarur. SHu sababli, klassik mexanikaning asosiy prinsiplarini yana bir marta eslatib o‘tish ortiqchalik qilmaydi.
Klassik mexanikada zarrachaning holatini ifodalovchi fizik kattaliklar ichida koordinata va impuls alohida rol o‘ynaydi. Sababi, bu kattaliklarning biror vaqt momenti uchun berilishi, zarrachaning keyingi harakatini to‘liq aniqlab beradi. Bu esa bevosita Nyuton qonunlaridan kelib chiqadi, ya’ni:
= = - ; = (6.1)
(6.1) dan ko‘rinib turibdiki, va kattaliklarning vaqt bo‘yicha o‘zgarish tezligi shu kattaliklarning o‘zi bilan aniqlanar ekan, ya’ni bu ikki kattalikni vaqtning biror momentida berilishi, ularni vaqtning istalgan momentida bir qiymatli aniqlash uchun etarlidir. SHuning uchun ham barcha fizik kattaliklar shu asosiy kattaliklar orqali ifodalanadi.
2. SHryodenger tenglamasi.
Bizga ma’lumki, kvant mexanikasida zarrachaning holati to‘lqin funksiyasi orqali ifodalanadi. Faraz qilaylik funksiyaning vaqt bo‘yicha o‘zgarishini operator orqali belgilaylik, u holda
(6.2)
(6.2) dagi operatori vaqt bo‘yicha siljish operatori deyiladi, va u quyidagi qoidalar bilan aniqlanadi.
1. Superpozitsiya prinsipiga ko‘ra operatori chiziqli operator bo‘lishi kerak.
2. operatori tarkibida vakt bo‘yicha hosilalar va integrallar qatnashmasligi kerak.
3. operatorda vaqt parametr sifatida qatnashmasligi kerak.
YUqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi operatorini to‘g‘ri tanlab olish uchun, impulsi aniq qiymatga ega bo‘lgan zarrachaning erkin harakatini qarab chiqaylik. Bunday harakatning to‘lqin funksiyasi sifatida De-Broyl to‘lqin funksiyasini tanlab olish mumkin, ya’ni
(6.3)
Bu erda

funksiya uchun yozilgan (6.3) ifodani quyidagi tenglamani qanoatlantirishni ko‘rib chiqamiz.
(6.4)
YOki zarrachaning to‘liq energiyasini hisobga olsak (6.4) ni quyidagicha yozamiz
(6.5)
Bunda operator sifatida erkin harakatlanuvchi zarrachaning energiya operatorini yoki Gamiltoneanni tushunish kerak.
(6.6)
Demak (6.6) ifodadan erkin harakatni ifodalovchi holat uchun vaqt bo‘yicha siljish operatori qo‘ydagi ko‘rinishda bo‘ladi.
(6.7)
Ushbu qoidaga asosan to‘lqin funksiyasi uchun (6.2) formulani quyidagicha ifodalash mumkin.
(6.8)
(6.8) ni erkin harakatlanuvchi zarrachaning xarakatlarini ifodalovchi SHryodenger tenglamasi deyiladi. Bu kvant mexanikasidagi asosiy tenglamalardan biri hisoblanadi. (6.8) dan operatorning qiymatini tashqi maydonni hisobga olgan holda yozsak, SHryodenger tenglamasi qo‘ydagicha yoziladi.
(6.9)
Bunda operatori chiziqli operator bo‘lganligi sababli tenglama ham chiziqli hisobdanadi. Bundan SHryodenger tenglamasini echimlari superpozitsiya prinsipiga bo‘ysunishi kelib chiqadi. Tenglamadagi mavhum sonning mavjudligi muhim ahamiyatga ega.
Biz ma’lum, vaqt bo‘yicha birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarning echimlari davriy emasligi aniq. CHunki ular qaytmas jarayonlar (diffuziya hodisasi, issiqlik tarqalishi) ni ifodalaydi.
(6.9) dagi ning oldida turganligi uchun u davriy echimga ega ekanligini xarakterlaydi. SHunday qilib, vaqt o‘tishi bilan to‘lqin to‘lqin funksiyasining o‘zgarishini, fizik kattaliklarning ehtimolli taqsimoti vaqt o‘tishi bilan qanday o‘zgarishini aniqladik.