6-Маъруза Хатоларнинг тарқалиши

Тасодифий хатолар

Биз кўрганимиздек, тасодифий хатолар мавжуд бўлганда “максимал мумкин бўлган хато” ҳақида гапириш мумкин эмас. Агар ўлчашлар анча узоқ вақт давомида давом этилса, аввалги барча ўлчашларда учраган хатолардан энг каттасидан ошадиган хатолар юз беради. Шунинг учун ўлчашлар кетма-кетлигида тасодифий хатоларнинг тарқалишини таҳлил этганда алоҳида ўлчашлар натижаларининг ўртача қийматлардан ва дисперсиялардан фойдаланган яхшироқ.² Яна фараз қилайлик, x якуний натижанинг алоҳида ўлчанадиган a, b, c физик катталиклар қаторига боғлиқлиги ушбу кўринишга эга бўлади:

Бизга шунингдек ҳар бир қийматларнинг танланма қийматлари қаторидан топилган a, b, c ва қийматлар маълум бўлсин. Унда

ва

Бу икки нисбатлар биргаликда хатолар тарқалишининг гаусс қоидасини ташкил этади. Бу қоида ўртача қиймат ни ва дисперсияни, тасодифий хатолар таъсирига мойил мустақил ўлчанган a, b, c қийматлар қаторининг функцияси ҳисобланувчи якуний натижа x ни аниқлашга имкон беради.
Бу қоиданинг исботланиши қуйидагидан иборат. da, db, dc rичик оғишлар x да dx оғишни келтириб чиқаради, у ушбуга тенг:

Систематик хатоларда қилингани каби Тейлор қаторида ажралишда олий қаторлар аъзолариниб биз яна эътиборга олмаймиз. Бундан келиб чиқиб, охирги тенглик фақат кам оғишлар учун ва нуқтасида x = f  функциясининг оз эгрилигида ҳаққоний. dx x нинг дан оғиши бўлганлиги сабабли, дисперсия ўрта қийматга тенг, уни биз сифатида белгилаймиз.
Унда ни ушбу кўринишда тасвирлаш мумкин:

Ўнг томондаги қавсларни очиш

ни беради
da, db, dc тасодифий хатолар умумий ҳолда корреляциялаштирилмаган, бунниг натижасида кесишувчан кўпайтмалар бир хилда тез-тез мусбат ва манфий бўлади, ваҳоланки мусбат ва манифий қийматлар катталиги бўйича таҳминан бир хил бўлади. Натижада бу кесишувчан кўпайтмалар суммалари нольга тенг

Агар ишоралар киритилса, унда қийматни ушбу кўринишда ёзиш мумкин:

Шуни исбот қилиш талаб этилган эди
Хатолар тарқалиши гаусс қоидасидан келиб чиқишича, a, b, c ўлчашларнинг алоҳида натижалар учун эҳтимолликларнинг тақсимланиш хичлиги кўриниши аҳамиятга эга эмас. Шу сабабдан бу қоида тақсимланиши номал бўлмаган тасодифий хатоларга ҳам шунингдек қўлланилишини мумкин.³
Мисол тариқасида, ўлчашнинг якуний натижаси a_i (i = 1, , n) ўлчашларнинг алоҳида натижаларининг ўртача қиймати n га тенг бўлганда Гаусс қоидаси қўлланилиши мумкин:

Барча мумкин бўлган кузатувларни орқали ўртача белгиланса, унда

ва дисперсия ҳар бири учун

кўриниш олади.
Гасусс қоидасини қўллаш ўрта қиймат учун ва x якуний натижа учун қуйидаги ифодаларга олиб келади

ва

ёки

охирги нисбат кўрсатишича, битта физик катталикни ўлчашларнинг n алоҳида натижалари ўртачаси топилганда (тасодифий хатолар билан) натижавий ўлчаш ишончлилиги алоҳида ўлчашлар сонидан илдиз сифатида ўсади. [1] 62-75бетлар

1^ Klaas B. Klaassen “Electronic Measurement and Instrumentation” II боб, 2.3.2 мавзу, 58-59 бет

2^ Klaas B. Klaassen “Electronic Measurement and Instrumentation” II боб, 2.3.2 мавзу, 59-62 бет

3^ Klaas B. Klaassen “Electronic Measurement and Instrumentation” II боб, 2.3.2 мавзу, 61-63 бет