6-ma’ruza. Yigʻindi, koʻpaytma va boʻlinmaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi Mavzu rejasi

1-misol. funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu yerda , . Demak,  .
Amalda (1) tenglikni yoki ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada o‘zgaruvchi ga nisbatan marta tez, esa x ga nisbatan marta tez o‘zgarsa, u holda o‘zgaruvchi ga nisbatan marta tez o‘zgaradi, ya’ni .
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar , , bo‘lsa, u holda tenglik o‘rinli bo‘ladi.
5. Teskari funksiyaning hosilasi.
Teorema. Agar funksiya kesmada monoton o‘suvchi, intervalning har bir nuqtasida noldan farqli hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan funksiya intervalda hosilaga ega va ixtiyoriy uchun uning hosilasi ga teng bo‘ladi.
Isbot.  Aytaylik, funksiya kesmada o‘suvchi, intervalda hosilaga ega va ixtiyoriy uchun bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: , . U holda funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, kesmada funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti ga orttirma beramiz. U holda funksiya biror orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan , uzluksizligidan esa da ekanligi kelib chiqadi.
Endi funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra , demak formula o‘rinli ekan. 
Teorema funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli (5-72-masala).
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.