6-Mavzu Chiziqli fazo. Chiziqli fazoning qism fazosi 1-misol

3-misol. , (bu yerda va ixtiyoriy haqiqiy sonlar) ko’rinishdagi barcha -o’lchamli vektorlar sistemasi chiziqli qism fazo tashkil etishini isbotlang va bu fazoning bazisini hamda o’lchamini toping.
Yechilishi. ko’rinishdagi barcha -o’lchamli vektorlar sistemasini orqali belgilasak, u holda .
Ma’lumki, chiziqli fazo va o’rinli. Shuning uchun fazoning ixtiyoriy ikkita va vektorlarning chiziqli kambinatsiyasi uchun
.
Demak, -chiziqli qism fazo bo’ladi.
Endi fazoning bazisini topish uchun fazoning ixtiyoriy vektorini bazisga tegishli vektorlarning chiziqli kambinatsiyasi ko’rinishida ifodalaymiz, ya’ni
.
Bundan ko’rinadiki, -chiziqli qism fazoning bazisiga tegishli vektorlar va . -chiziqli qism fazoning o’lchami esa ga teng.
4-misol. va vektorlar sistemasiga qurilgan chiziqli qism fazo yig’indisi va kesishmasi bazisini toping:
,
.
Yechilishi. Dastlab va vektorlar sistemasiga qurilgan va chiziqli qism fazolarning bazisini topamiz. Buning uchun quyidagi matrissalarning rankini topamiz:
.
vektorlar sistemasi matrissasi ranki bo’lgani uchun bazis bo’ladi (bazis sifatida yoki deb ham olish mumkin).
Xuddi shuningdek,
.
vektorlar sistemasi matrissasi ranki bo’lgani uchun bazis bo’ladi (bazis sifatida yoki deb ham olish mumkin).
Endi fazoning bazisini topish uchun va vektorlar sistemasidan tashkil topgan matrissaning rankini topamiz:


va vektorlar sistemasi matrissasi ranki bo’lgani uchun fazoning bazisiga tegishli vekorlar sifatida vektorlar sistemasidan ixtiyoriy ikkitasi va vektorlar sistemasidan ixtiyoriy bittasi olinadi (va aksincha, vektorlar sistemasidan ixtiyoriy bittasi va vektorlar sistemasidan ixtiyoriy ikkitasini olish mumkin). Masalan, . Ammo, va ko’rinishda bo’la olmaydi.
Demak, , va bo’lgani uchun
,
ya’ni va chiziqli qism fazolarning kesishmasining bazisiga tegishli vektor faqat bitta. Aytaylik, bo’lsin. U holda va bo’ladi. Bu vektor mos ravishda va fazolarning bazisiga tegishli vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni va . Bu ikki vektor tenglikni tenglashtirib, quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Yuqoridagi sistemaning umumiy va fundamental yechimlar sistemasi mos ravishda va . Bundan yoki , ya’ni .