6-Mavzu Chiziqli fazo. Chiziqli fazoning qism fazosi 1-misol

6-Mavzu Chiziqli fazo. Chiziqli fazoning qism fazosi

1-misol. Biror bazisda va vektorlar o’zining koordinatalari bilan berilgan. vektorlar bazis tashkil qilishini ko’rsating va bu bazisda vektorning koordinatalarini toping: , , ; .
Yechilishi. Dastlab, vektorlarning bazis tashkil qilishini ko’rsatamiz.
1-usul. Ma’lumki, . Endi bu vektorlarni chiziqli erkli bo’lishlikka tekshiramiz. Buning uchun , (bu yerda ) tenglikdan quyidagi sistemani hosil qilamiz va bu sistemadan , , noma’lumlarni topamiz:

Bundan , , noma’lumlarning barchasi ga teng bo’lgani uchun vektorlar chiziqli erkli bo’lib, ning ixtiyoriy vektorini bu vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkin.
Demak, vektorlar sistemasi bazis tashkil qiladi va uning o’lchami ga teng.
2-usul. vektorlar bazis tashkil qilishini ko’rsatish uchun bu vektorlardan tuzilgan matrissaning ranki ga tengligini ko’rsatish yetarli. Shuning uchun quyidagi matrissaning rankini topamiz:

Oxirgi hosil qilingan matrissaning noldan farqli satrlar soni ta. Shuning uchun, bu vektorlardan tuzilgan matrissaning ranki ga teng.
Demak, vektorlar sistemasi bazis tashkil qiladi va uning o’lchami ga teng.
Endi bu bazisda vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun vektorli tenglamadan noma’lumlarni topamiz, ya’ni quyidagi sistemani yechimini topamiz:

Bu sistemaning yechimi bo’lgani uchun vektorning bazisdagi koordinatalari ko’rinishda bo’ladi.
2-misol. Ikkita berilgan vektorlar sistemasining har biri bazis bo’lishini isbotlang va bu ikki bazisning vektor koordinatalari orasidagi bog’lanishni toping:

Yechilishi. Dastlab, bu vektorlar sistemasi bazis bo’lishini isbotlaymiz. Buning uchun bu vektorlardan tuzilgan matrissalarning ranki ga tengligini ko’rsatish yetarli. Shuning uchun quyidagi matrissalarning rankini topamiz:

Bundan sistema bazis tashkil qiladi va ga teng.
Xuddi shuningdek, sistema ham bazis tashkil qilishini ko’rsatish mumkin va ga teng.
Endi bazisdan bazisga o’tish matrissasi ni topamiz. Buning uchun quyidagi matrissaviy tenglikdan foydalanamiz. Agar va bazislarning matrissasini mos ravishda va deb olsak, u holda yuqoridagi matrissaviy tenglikni ko’rinishda yozish mumkin. Bu matrissaviy tenglamaning yechimi esa bo’ladi. Shuning uchun dastlab, matrissaga teskari matrissa topamiz:
, , , , , , , , , .
Demak, matrissaning teskarisi
.
Bundan .
Endi bu ikki bazisning vektor koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. Aytaylik, vektorning va bazisdagi koordinatalari mos ravishda va bo’lsin. U holda
.
Demak, bu ikki bazisning vektor koordinatalari orasidagi bog’lanish quyidagicha: