60-odd years of moscow mathematical

n
is less than 10
100
. Is the set of such
positive integers n finite or infinite?
19.(7-9). Prove that no digit is repeated 5 000 001 times in a row in the first 10 million digits of the
decimal representation of
√
2 (the integer part included).
20.(7-9). There are 1 000 airports in the land Shvambrania, and the distances between every two
airports are distinct. Suppose an airplane departs from each airport and flies to the nearest airport. What
greatest number of airplanes can land in an arbitrary airport if Shvambrania is a) a plane? b) a sphere?
21.(9-10). Several spherical holes are made in a cheese cube. Prove that it is possible to cut the cheese
into convex polyhedrons so that there is exactly one hole inside each of the polyhedrons.
22.(10). Let sin α =
3
5
. Prove that sin 25α =
n
5
25
, where n is an integer not divisible by 5.
23.(7-10). Three bulbs — one blue, one green, and one red — are somehow connected by wires to n
switches. Each switch can be in one of three positions. For any position of all the switches exactly one bulb
is turned on, but if all n switches are simultaneously flipped (each by its own of the 2 possible ways), another
bulb is turned on. Prove that the color of the bulb which is turned on is determined by one fixed switch and
does not depend in any way on the other switches.
24.(8-10). A grasshopper hops on an infinite chessboard with squares of side 1 moving with each hop
a distance of α to the right and β upwards. Prove that if numbers α, β and
α
β
are irrational, then the
grasshopper will necessarily reach a black square.
25.(9-10). Prove that tan
3π
11
+ 4 sin
2π
11
=
√
11.
26.(8-10). Solve in positive integers:
520(xyzt + xy + xz + zt + 1) = 577(yzt + y + z).
27.(7-8). Prove that if at all times at least one of ten uniformly functioning alarm clocks shows correct
time, then at least one of them always shows correct time.
28.(9-10). The space is divided into identical and identically oriented parallelepipeds.
a) Prove that for each parallelepiped at least 14 of the parallelepipeds have a common point with it.
b) What is the least number of parallelepipeds that have a common point with a given parallelepiped if
the parallelepipeds are still identical but not equally oriented?
29.(8-10). A triangular lamina of area 1 is cut into 4 parts (three triangles and 1 quadrilateral) by two
straight cuts. Three parts have the same area. Find the area of every part.
30.(8-9). Prove that if the arithmetic mean of the first 10
10
10
digits in the decimal expression of 2 −
√
2
is between 4
1
3
and 4
2
3
, then the same is true for
√
2 − 1.
31.(8-10). Prove that at any given moment there is a point on the surface of the Sun (considered as a
sphere) from which one can see not more than 3 planets (out of 9 known ones).
32.(7-9). There are two containers: the first one has 1l of water in it, the second one is empty. We pore
half of the water from the first container into the second one; then we pore one third of the water from the
second container back into the first container; then we pore one fourth of the water from the first container
into the second container, and so on. How much water is there in the first container after 12345 refills?
33.(9-10)*. Prove that it is possible to arrange infinitely many squares with sides
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . . ,
1