60-odd years of moscow mathematical

, M
2
, . . . , M
n
. If not the whole plane is illuminated we will construct another, “improved”, ar-
rangement of the searchlights, the “quality” of the arrangement being evaluated with a numerical function
f .
Since the number of the arrangements of searchlights over the points M
1
, M
2
, . . . , M
n
is finite, we will
automatically light up the entire plane by taking the arrangement for which the value of f is maximal. Indeed,
if not the whole plane were illuminated in this case we could still improve the arrangement: contradiction.
Figure 108. (Sol. A14)
Let us start carrying out this plan. Let us transport all searchlights to one point O and draw a convex
n-gon A
1
A
2
. . . A
n
whose sides are lighted up by the searchlights
1
, see Fig. 108; let ∠A
i
OA
i+1
= α
i
, i =
1, . . . , n. Drop the perpendiculars OH
i
from O to the sides of the polygon or to their extensions. Let
|OH
i
| = h
i
. Consider the vectors
~e
i
=
1
h
2
i
· OH
i
−−→
for i = 1, . . . , n.
Clearly, |~e
i
| =
1
h
i
, see Fig. 108 b).
Let us attach each vector ~e
i
to its respective searchlight α
i
. Then the arrangement of the searchlights
over the points M
1
, . . . , M
n
corresponds to the distribution of the vectors ~e
i
, . . . , ~e
n
over these points (we
arrange the searchlights together with the vectors as solid bodies).
To justify the appearance of the strange vectors ~e
i
we need the following geometric fact:
Lemma 1. Suppose the searchlight α
p
placed at point M illuminates a point N while the searchlight
α
q
placed at M does not illuminate N . Then M N
−−→
· ~e
p
> M N
−−→
· ~e
q
, see Fig. 108 c).
(Hereafter a “·” means the inner product of vectors; the i-th searchlight is denoted by α
i
— the angle
it illuminates indexed by its number).
Proof. Let M N
−−→
= ~v. Draw the vector OP
−→
= ~v with O as its initial point, see Fig. 108 d).
The ray [OP ) intersects the p-th side of the polygon A
1
. . . A
n
at a point K and does not intersect the
q-th side because the searchlight α
p
lights up N while α
q
does not.
There are two possibilities:
1) [OP ) does not intersect the straight line on which the q-th side lies;
2) [OP ) intersects this line at a point R.
In case 1), Lemma 1 is obvious since ~v · ~e
p
> 0 and ~v · ~e
q
≤ 0.
In case 2), the inequality |OK| < |OR| is satisfied and, therefore,
~v · ~e
p
= |OP
−→
| |~e
p
| cos(~v, ~e
p
) = |OP
−→
|
1