60-odd years of moscow mathematical

Contemporaneity, Matematika v shkole (Mathematics in School), No. 5, 1989, pp. 143–148 : “ . . . I can not figure out why
neither Leman nor Galperin and Tolpygo addressed the participants of that Olympiad . . . for instance, me.
The 2-nd set of Olympiad 4 contained 5 problems, not 4. Of the problems of the 1-st set I remember the one which I found
the most difficult at that time. I hope that you will not find it difficult now, but bear in mind that it was the 1-st set:
In space (not on one plane) 4 points are given; how many planes equidistant from these points are there? I do not bet that
in the formulation of this 49-years old problem the parenthetical restriction was explicit. Perhaps, it was required to consider
separately the other case as well.”
Now Isaak Moiseevich Yaglom is dead. So nobody will, probably, provide us with the lacking problems.
2
Which is a pity: the compilers would have supplied with corrections. For free.
177

---

178
HISTORICAL REMARKS
fingers, etc. And each year lost in childhood might only be compensated later with many years of incredibly
hard work.
It would be wrong to think that the situation is different in science, particularly in mathematics. Just
like in dancing or music, the years lost in childhood are difficult to compensate later on. The trouble is that
mathematics requires some agility of mind, the ability to think in abstract terms, and some logic culture
which are impossible to pick up even by hard work at the university. To be sure, all qualities making up
what is called “mathematical abilities” can develop at an ordinary school without any special training of a
teenager. This is a spontaneous process for born mathematicians which has taken place in all countries and
at all times. For example, S. Ramanujan (1887–1920), a very famous Indian mathematician had practically
no mathematical education.
The mathematical talent, however, like that of a musician, manifests itself quite early, as a rule. More-
over, when developed properly, a mathematician can make his most important discoveries when still quite
young. For example, Evariste Galois (1811–1832), a French mathematician, had time in his short life to
create an algebraic theory remarkable in its depth, which greatly advanced the development of mathematics.
Carl F. Gauss (1777–1855) published his classical studies of constructions with a ruler and compass when
19 years old; several years later he presented the book “Disquisitiones arithmeticae” which has few equals
in the history of mathematical science.
Participation of the mathematicians in school education is extremely essential. This was the case before
the Revolution; this work was reinitiated after the Revolution only in 30s; in Leningrad by CMA B. N. Delon´e
and Prof. V. A. Tartakovsky , and in Moscow by CMA L. G. Shnirelman, and Prof. L. A. Lusternik (later
a CMA). The first mathematical Olympiad for schoolchildren in the USSR was held in Leningrad in the
spring of 1934.
H.3. On Moscow Mathematical Olympiads. In the spring of 1935, the Board of the Moscow
Mathematical Society, following the example of Leningrad, decided to organize the 1-st Moscow Mathematical
Olympiad. The organizing committee included all professors of mathematics from the Moscow University
and was headed by P. S. Alexandrov, the then President of the Moscow Mathematical Society. The purpose
of the Olympiad was to find the most talented students, to attract attention of the young people at large
to some of the most important problems and methods of modern mathematics, and to show the kids, least
partly, what Soviet mathematicians are working on, what progress they have made and what challenges they
have.
314 high school students participated in the Olympiad, 120 of them took part in Set 2 (the final). Three
students were awarded first prizes, five got second prizes and, in addition, 44 kids were given honorary prizes.
A place at the top of the Olympiad determined for many their future scientific career.
It is interesting how problems in Set 2 were selected. Three series of problems were offered and they
were designated A, B and C. A. N. Kolmogorov told us that it was done by his initiative in order to
enable students with different mathematical mentalities — geometrical, computational (algorithmic), or
combinatorially logical — to develop. (Details see in [Ko]). It is according to these types of thinking that
the series of problems were selected for the first Olympiad.
H.4. Mathematical circles. The success of the 1-st Moscow Mathematical Olympiads helped to
restructure the relations of the researchers with schoolchildren. This eventually brought about the School
Mathematical Circle attached to Moscow University. It was organized by L. A. Lusternik, L. G. Shnirelman
and I. M. Gelfand (a member of the US National Academy, the French Academy, and almost all other
Academies; at the dawn of perestrojka he was finally elected member of the USSR Academy of Sciences).
The Circle had two types of activities: lectures on all kinds of subjects and meetings of their members. The
lectures were attended first by dozens and then by hundreds of boys and girls from all over Moscow. Initially,
the lectures were addressed to 8-th to 10-th graders; later (since 1940) the lectures were delivered also for
7-th and 8-th graders. The lectures set forth in a popular form serious mathematical results, including the
latest scientific achievements.
The subjects of the lectures were quite diverse. Here are some examples of the lectures delivered at
different times of the circle’s existence:
L. S. Pontryagin. What is topology?
A. G. Kurosh. What is algebra?
N. A. Glagolev. Construction using only the ruler and without compass.
A. A. Lyapunov. Thinking machines.
A. I. Markushevich. Areas and logarithms.
L. G. Shnirelman. Multidimensional geometry.
B. N. Delon´e. Derivation of the seven crystal systems.
A. N. Kolmogorov. The fundamental theorem of algebra.

---

HISTORICAL REMARKS
179
S. L. Sobolev. What is mathematical physics?
I. R. Shafarevich. Solutions of equations in radicals.
L. A. Lusternik. Convex figures.
P. S. Alexandrov. Transfinite numbers.
S. A. Yanovskaya. What does it mean to solve a problem?
Ya. S. Dubnov. Errors in geometric proofs.
I. A. Kibel. Mathematical methods of weather forecasting.
V. V. Golubev. Why does an airplane fly?
I. M. Gelfand. Dirichlet’s principle.
V. A. Efremovich. Non-Euclidean geometry.
B. V. Gnedenko. How science studies random phenomena.
N. K. Bari. Arithmetics of the infinite.
G. E. Shilov. About a derivative.
R. L. Dobrushin. Mathematical methods of linguistics.
V. G. Boltyansky. Continued fractions and the musical scale.
I. M. Yaglom. How can we measure information?
O. A. Oleinik. Helly’s theorem.
This list is far from complete, of course: many hundreds of lectures have been delivered for schoolchildren during the
circle’s existence.
We can say that the mathematical circle of Moscow University helped to revise considerably the term “elementary math-
ematics” (when it implies the body of mathematical knowledge that could be made fully understandable to school pupils).
Thus, for example, in his lecture “The fundamental theorem of algebra” made in 1937, Acad. A. N. Kolmogorov set forth
an essentially full proof of the theorem on the existence of a complex root in any algebraic equation. This proof (called in the
mathematical circle “The Lady with a lap dog” after a story by Chekhov) was published later in exactly the same form in the
book “What Is Mathematics?” by R. Courant and H. Robbins, [CR].
The same year, L. G. Shnirelman in his lecture “The group theory and its application to solving 3rd order equations”
brought up the group theory considerations, which actually go back to Galois, to obtain an explicit formula for a solution of
3rd order equations.
B. N. Delon´e in his lecture “The geometry of continued fractions” delivered in 1947 not only proved a subtle theorem on
the best rational approximations of irrational numbers but also described an elegant results obtained by Hurvitz about the
irrationalities worst approximated by rational numbers.
Acad. S. I. Sobolev delivered in 1940 a lecture “What is mathematical physics?” and very skillfully brought the description
(at the level understandable to teenagers) up to the 2-nd order partial differential equations indicating qualitative differences
in the behavior of their solutions.
Sometimes the lectures were accompanied by problems to be solved at home or on the spot. I. M. Gelfand offered
particularly numerous problems to his audience. The boys and girls who knew well his manner of lecturing often preferred to
sit as far as possible from the speaker not to be called to the blackboard to solve a problem.
Ya. S. Dubnov’s lectures were interestingly arranged. Sometimes he delivered a series of two lectures, the first lecture
offering some problems whose solutions (partly found by the listeners) were discussed at the second one (in two weeks’ time).
While delivering a lecture on deduction arithmetics and Boolean algebra, A. N. Kolmogorov drew a plot of an electric
circuit shown in Fig. H1 to place two switches near the door and over a bed, each switch being able to turn on and off a lamp in
the room irrespective of the position of the other switch. At the end of the first hour he challenged the listeners to find during
the break the circuit which would enable one to switch the light on and off from n places in the room.
Figure 1. (Sol. AH1)
During preparations for the lectures, the lecturers often found new elegant proofs of well-known theorems, obtained new
generalizations of some facts that they knew earlier, and even made small mathematical discoveries. Unfortunately, most part
of this very valuable material is lost forever.
H.5. How to run mathematical circles (after Shklyarsky). Along with the lectures, there were
regular meetings of sections of the circle. They were conducted generally by senior and post graduate
students from “mekh-mat”, i.e., the Department of Mechanics
1
and Mathematics of Moscow University
1
A more adequate translation would be “Mechanical engineering” instead of the conventional “Mechanics”.

---

180
HISTORICAL REMARKS
(except two sections in 1936 and 1937: the section of geometric methods of the number theory was headed
by L. G. Shnirelman and the section of qualitative geometry was headed by A. N. Kolmogorov).
At first, the reports at the meetings were made by schoolchildren themselves; but soon it was found that
this form of work was non-productive. The trouble was that most of the reports were of little interest and
boring for all members of the circle (with an exception, perhaps, of the reporter himself). After all, it is not
enough to understand everything what is said in the mathematical text given by the section head to make
a good report.
A well-made report must arouse the interest of the audience and make the listeners think over and over
what they have heard; it should contain a clear presentation of the problems to be discussed, the main ideas
of the solution should be emphasized, the beautiful and original parts of proofs should be vividly depicted,
and so on. Besides, a lecture can rarely be good if the lecturer knows the subject only within the limits of
the lecture. Therefore, a teenager’s report is usually far inferior to that of an experienced teacher.
The radical change in the work of the sections was associated with the name of David Shklyarsky, a
talented mathematician and brilliant teacher, who headed the circles 1938 till 1941 while still a student.
(D. O. Shklyarsky was killed in a guerrilla combat in 1942 at the age of 23 during WW II.)
Reports of the school pupils at the meetings were practically abolished. Instead, the head of a section
delivered a short lecture that contained as a rule a complete description of a small mathematical theory.
Then, the members described their solutions of the problems given at the previous meeting. Problems of
varying complexities enabled Shklyarsky to involve virtually all section members into active work and by
repeating a member’s solution he had two objectives in mind: the audience understood better the solution
exposed by an expert while the author of the solution had a lesson: how to lucidly present a mathematical
proof.
This system has born a wonderful fruit: in 1938, at the 4-th Olympiad, members of Shklyarsky’s section
took away half of the prizes (12 out of 24), including all 4 first prizes! The results of the 4-th Olympiad
astonished the heads of the other sections and next year practically all of them followed this example. Since
then the form of the work of the circle found by D. O. Shklyarsky became predominant.
From the very beginning a tradition was established to issue annually a small collection of preparatory
problems for the next Olympiad, which was given to the circle members and to all who came to the Olympiad.
H.6. Examples of programs and syllabus of specialized sections of the circle.
The Geometric Probabilities series
The problem on a meeting: Two persons agreed to meet at a certain place, each has to come to the place between