60-odd years of moscow mathematical

− 2 ”slips through the
known points of the x-axis”. Further generalization of our stock of numbers; the real radicals of any order.
The problem of solution of cubic equations. The proof of the fact that the cubic parabola y = x
3
− 4x − 2 ”slips
through the points of the x-axis” (the irreducible case of a solution of a cubic equation.) The need to enlarge yet the stock of
numbers.
The problem on solution of cubic equations again. Complex numbers. Geometric interpretations of complex numbers
— the complex numbers as points in a plane; complex numbers as operators of rotational dilation. De Moivre’s formula and
problems on complex numbers.
The problem on solution of cubic equations once again. Cardano’s formula. Another extension of the set of (real) numbers
— combinations of complex radicals. The problem of solution of 4-th order equations.
The 5-th order equations. The proof that the parabola y = x
5
− 4x − 2 ”slips through the known points of the x-axis.”
The need for a new extension of the set of numbers. All kinds of roots of all kinds of algebraic equations.
Another approach to “numbers” — infinite decimal fractions. A new extension of the set of numbers proving
that the number
0.1100010000000000000000010000 . . . (=
X
n≥1
10
−n!
)
is not a root of any algebraic equation.
A different extension of the notion of numbers: quaternions as operators of rotational dilation in plane and in
space. The geometric theory of quaternions. The quaternions and vectors; operation of vector algebra in space; problems.
Frobenius’ theorem.
Another extension of the notion of numbers — complex numbers, dual numbers (
Z
[x]/(x
2
)) and double
numbers (
Z
[x]/(x
2
− 1)). Geometric interpretation of dual numbers (as directed straight lines of a plane.) Geometric
applications of double numbers. The idea of Hurvitz’ theorem and of its generalizations.
(Of course, even in this extremely “theoretical” orientation of the circle, quite a few materials were left for exercises of the
members on their own.)
H.7. Books for mathematical circles. In 1950, “Gostekhizdat” (The State Technical Publishers)
1
began publication of a special series of booklets under the heading “Popular Lectures on Mathematics”, most
of which were brought about as a specially prepared edition of lectures delivered at the mathematical circle
of Moscow University. Some of the lectures were also published in the collection “Mathematical Education”.
A brief summary of some unpublished lectures is given in Selected Lectures. An extensive bibliography is
given in [Le].
One of the main virtures of these books was, undoubtedly, their low cost.
H.8. How Moscow Mathematical Olympiads were arranged. The procedure has not practically changed since the
1-st Olympiad held in 1935.
The first 36 Olympiads (1935 through 1973) were held in two sets on Sundays at the end of March and early April (because
of the kids’ vacations).
Set 1 was selective, every participant being given 4 to 6 relatively easy problems (but with a catch!) and informed that it
would be enough to solve two of the problems to get through to set 2.
A week after the first set, the problems were reviewed, different solutions and typical errors were pointed out, and the
results were announced. Set 2 was held a week after that and all those who were successful in set 1 were invited (they made
usually 30% to 50% of the total); sometimes teenagers who failed at set 1 were also allowed to participate in set 2 as well as
those who missed set 1 for some reason
2
(generally, because of an illness; these were placed in special rooms.) The problems of
the second set were considerably more difficult than those of set 1. In each set 5 or 6 hours were allotted to solve problems.
Finally, a week after, the problems of set 2 were discussed. Usually famous mathematicians were invited to review the
problems conceived mostly by under and post-graduate students. The purpose was to combine descriptions of problem solutions
with indications of broader perspectives in “big mathematics”. Thus, one of us saw A. N. Kolmogorov in front of an audience
that consisted mainly of several hundred of 8-th graders who started from two problems of the 38-th Olympiad (Problems
1
Later renamed “Fizmatgiz” (The Phys. and Math. State Publishers) and now called “Nauka” (Science). Whatever the
name, the books were increadibly cheap O`