60-odd years of moscow mathematical

Grade 10
24.2.10.1. Prove that for any three infinite sequences of positive integers
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . ;
b
1
, b
2
, . . . , b
n
, . . . ;
c
1
, c
2
, . . . , c
n
, . . . .
there exist p and q such that a
p
≥ a
q
, b
p
≥ b
q
, c
p
≥ c
q
.
24.2.10.2. 120 squares of side 1 are tossed onto a 20 × 25 rectangle. Prove that a disc of diameter 1 can
be placed in the rectangle so that the disc does not intersect any of the squares.
24.2.10.3. See Problem 24.2.9.2.
24.2.10.4. On a plane, the distance from a fixed point P to two vertices, A and B, of an equilateral
4ABC is 2 and 3 units, respectively. Find the maximal possible length of P C.
24.2.10.5. From an arbitrary sequence of 2
k
numbers 1 and −1 we get a new sequence by the following
operation: each number is multiplied by the one following it, and the last 2
k
-th number is multiplied by the
1-st one. We perform the same operation with the sequence obtained, and so on. Prove that eventually we
get a sequence consisting entirely of 1’s.
Olympiad 25 (1962)
Tour 25.1
Grade 7
25.1.7.1. Given a straight line l perpendicular to and intersecting segment AB. For any point M on l
we can find a point N such that ∠N AB = 2∠M AB and ∠N BA = 2∠M BA. Prove that the absolute value
|AN − BN | does not depend on M . (See Fig. 44.)
Figure 44. (Probl. 25.1.7.1)
25.1.7.2. We reflect an equilateral triangle with one marked side through one of its sides. Then we
similarly reflect the resulting triangle, etc., until at a certain step the triangle returns to its initial position.
Prove that the marked side also returns to its initial position.
25.1.7.3. Let a, b, c, d be the sides of a quadrilateral that is not a rhombus. Prove that from the
segments a, b, c, d one can construct a self-intersecting quadrilateral.

---

OLYMPIAD 25 (1962)
71
25.1.7.4. Denote by S(a) the sum of digits of a number a. Prove that if S(a) = S(2a), then a is divisible
by 9.
25.1.7.5. On each side of n given cards one of the numbers 1, 2, . . . , n is written so that each number
occurs exactly twice. Prove that the cards may be arranged on a table so that all numbers 1, 2, . . . , n face
upward.
Grade 8
25.1.8.1. On sides AB, BC, CA of an equilateral triangle 4ABC find points X, Y , Z, respectively, so
that the area of the triangle formed by lines CX, BZ, AY is one-fourth of the area of 4ABC and so that
AX
XB
=
BY
Y C
=
CZ
ZA
.
25.1.8.2. See Problem 25.1.7.2.
25.1.8.3. Prove that for any integer d there exist integers m and n such that
d =
n − 2m + 1
m
2
− n
.
25.1.8.4. See Problem 25.1.7.4.
25.1.8.5. See Problem 25.1.7.5.
Grade 9
25.1.9.1. Given two intersecting segments AA
1
and BB
1
on which lie points M and N , respectively, so
that AM = BN . Find positions of M and N for which the length of M N is the shortest. (Cf. Problem
25.1.9.2.7-8.3).
25.1.9.2. A chessman that crosses n squares in one move diagonally and 1 square up (or the other way
round) is called a Boo. A Boo stands on a square of an infinite chessboard. What n is required for the Boo
to reach any given square? For what n this is impossible?
25.1.9.3. See Problem 25.1.7.4.
25.1.9.4. Given the system of equations:












