60-odd years of moscow mathematical

Grade 10
23.2.10.1. The number A is divisible by 2, 3, . . . , 9. Prove that if 2A is represented as the sum
2A = a
1
+ a
2
+ · · · + a
k
of positive integers each less than 10, then it is possible to select from a
1
, a
2
, . . . , a
k
certain numbers so that the sum of numbers selected is equal to A.

---

OLYMPIAD 24 (1961)
67
23.2.10.2. A 6n-digit number is divisible by 7. The last digit is moved to the beginning of the decimal
expression. Prove that the number thus obtained is also divisible by 7.
23.2.10.3. At a gathering of n people, every two persons have two common acquaintances, and every
two acquaintances have no common acquaintances. Prove that each of persons present has the same number
of acquaintances.
23.2.10.4. See Problem 23.2.9.4.
23.2.10.5. A snail has to crawl 2n units along the lines of a piece of graph paper, starting and finishing
at a given crossing. Prove that the number of possible routes the snail can take is equal to
¡
2n
n
¢
2
.
Olympiad 24 (1961)
Tour 24.1
Grade 7
24.1.7.1. See Problem 24.1.9.3 below for an even n.
24.1.7.2. Given a 3-digit number abc. We take the number cba, and subtract the smaller from the
greater to get the number a
1
b
1
c
1
; we perform the same operation with it, and so on (the case a
1
= 0 is
allowed). Prove that at some step we get either 495 or 0.
24.1.7.3. Given an acute triangle 4A
0
B
0
C
0
let points A
1
, B
1
, C
1
be the centers of squares constructed
on sides B
0
C
0
, C
0
A
0
, A
0
B
0
outwards. We take triangle 4A
1
B
1
C
1
, perform the same operation with it and
get 4A
2
B
2
C
2
, etc. Prove that 4A
n
B
n
C
n
and 4A
n+1
B
n+1
C
n+1
intersect in exactly 6 points.
24.1.7.4. Consider 100 points on a plane such that (1) the distance between any two of them does not
exceed 1 and (2) if A, B, C are any three of these points, then 4ABC is obtuse. Prove that there is a circle
of radius 1/2 such that all given points are either inside it or on it.
24.1.7.5*. On a chessboard, two squares of the same color are selected. Prove that a rook can traverse
all squares, starting from one of those selected, and visiting each square exactly once except for the other
selected square which the rook must visit twice.
Grade 8
24.1.8.1. Consider 4ABC and a point O, denote by M
1
, M
2
, M
3
the centers of mass of 4OAB,
4OBC, 4OCA, respectively. Prove that S
M
1
M
2
M
3
=
1
9
S
ABC
.
24.1.8.2. One of two players selects a set of one-digit numbers x
1
, . . . , x
n
(either all positive or all
negative). The second player can ask what is the value of a
1