60-odd years of moscow mathematical

a
2
(a
1
− a
2
+ a
3
) < 0,
a
3
(a
2
− a
3
+ a
4
) < 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
11
(a
10
− a
11
+ a
12
) < 0.
Prove that at least three of these numbers are positive and at least three are negative.
22.2.8.3. Given 4ABC and its escribed circles O
1
, O
2
, O
3
. For each pair of these circles we draw the
second common outer tangent (one such tangent is already drawn: it is a side of 4ABC). The three outer
tangents form a triangle. Find its angles if the angles of 4ABC are known.
22.2.8.4. Given two intersecting line segments AB and CD of length 1. Prove that at least one of the
sides of quadrilateral ABCD is not less than
√
2/2.
22.2.8.5. Prove that a knight cannot pass each square of a 4 × 4 chessboard exactly once.
Grade 9
22.2.9.1. Given 100 numbers x
1
, . . . , x
100
whose sum is equal to 1 and such that |x
k+1
− x
k
| <
1
50
for
all k. Prove that of these 100 numbers, 50 numbers may be selected so that their sum would differ from
1
2
by not more than
1
100
.
22.2.9.2. n segments of length 1 meet at one point. Prove that at least one side of the 2n-gon whose
vertices are the endpoints of the given segments is not shorter than a side of a regular 2n-gon inscribed in a
circle of diameter 1.
22.2.9.3. Prove that a tetrahedron has not more than one vertex such that the sum of any two planar
angles at this vertex is greater than 180
◦
.
22.2.9.4. Prove that there are infinitely many integers that cannot be expressed as the sum of three
cubes.
22.2.9.5. Two white knights stand at the upper corners of a 3 × 3 chessboard, and two black knights at
the lower corners. In one move any knight can go to any unoccupied place in accordance with chess rules.
We want to shift the white knights to the lower corners and the black knights to the upper corners. Prove
that this requires at least 16 moves.
Grade 10
22.2.10.1. See Problem 22.2.9.4.
22.2.10.2. ABCD is a spatial quadrilateral. Points K
1
and K
2
divide AB and DC, respectively,
into segments with ratio α; and K
3
and K
4
divide BC and AD, respectively, into segments with ratio
β. Prove that K
1
K
2
and K
3
K
4
intersect. (For the position of the segments α and β see Fig. 38, where
AK
1
K
1
B =
DK
2
K
2
C = α,
BK
3
K
3
C =
AK
4
K
4
D = β.)
Figure 38. (Probl. 22.2.10.2)
Figure 39. (Probl. 23.1.7.4)
22.2.10.3. Given several intersecting discs covering an area of 1 on a plane, prove that it is possible to
select from these discs several nonintersecting discs covering an area of not less than
1
9
.

---

OLYMPIAD 23 (1960)
65
22.2.10.4. Given n complex numbers c
1
, . . . , c