60-odd years of moscow mathematical

n
by r
n
; let the sum of the
lengths of the first n segments of the broken line be S
n
. Prove that there exists an n for which
S
n
r
n
> 1958.
21.1.9.2. What is the greatest number of axes of symmetry that a figure in space might have, if the
figure is formed of three straight lines no two of which are parallel or identical?
21.1.9.3. Solve in positive integers
1 −
1
2 +
1
3 +
1
4 + . . .
1
(n − 1) + 1
n
=
1
x
1
+
1
x
2
+
1
x
3
+ . . .
1
x
n−1
+ 1
x
n
21.1.9.4. A segment of length 3
n
is split into three equal parts. The first and third parts are fixed.
Each of the fixed segments is split into three equal parts the first and third of which are fixed again, and so
on, until we get segments of length 1. The endpoints of all fixed segments are called fixed points. Prove that
for any integer k such that 1 ≤ k ≤ 3
n
there are two fixed points the distance between which is equal to k.
Grade 10
21.1.10.1*. See Problem 21.1.8.5. Prove that the area S of the polygon is ≥ 10.
21.1.10.2. Prove that 1155
1958
+ 34
1958
6= n
2
for any integer n.
21.1.10.3. See Problem 21.1.9.2.
21.1.10.4. On a table lies a regular 100-gon whose vertices are numbered consecutively: 1, 2, . . . , 100.
These numbers were then rewritten, in increasing order, according to the distance of the corresponding
vertex from the front edge of the table. If vertices are at the same distance from the edge, the left number is
written first, and then the right one. All possible sets of numbers corresponding to different positions of the
100-gon are written out. Calculate the sum of the numbers in the 13-th position from the left in all these
sets.
21.1.10.5* (J.Littelwood’s problem.) Of four straight lines on a plane no two are parallel and no three
meet at one point. Along each line a pedestrian walks at a constant speed. It is known that the first
pedestrian meets the second, third and fourth ones, and the second pedestrian meets the third and fourth
ones. Prove that the third pedestrian meets the fourth one.
Tour 21.2
Grade 7
21.2.7.1. Prove that on a plane it is impossible to arrange more than 4 convex polygons so that each
two of them have a common side.
21.2.7.2. There are two rows of 1’s and −1’s, each containing 1958 numbers. At each step one is allowed
to change the sign of any 11 numbers of the first row. Prove that after a finite number of steps one could
change the first row into the second one.
21.2.7.3. Each face of a cube is pasted over with two equal right triangles with a common hypotenuse,
one of them white and the other black. (See Fig. 36.) Is it possible to arrange these triangles so that the sum
of the white angles at each vertex of the cube be equal to the sum of the black angles at the same vertex?
21.2.7.4. Prove that (n!)
2
> n
n
for n > 2.
21.2.7.5. On a piece of graph paper with squares of side 1, an m × n rectangle is drawn along the lines
of the graph. Is it possible to draw inside the rectangle, along the lines of the graph, a broken line passing
each vertex of the graph inside or on the boundary of the rectangle exactly once? If this is possible, what is
the length of the brocken line?

---

OLYMPIAD 21 (1958)
61
Figure 36. (Probl. 21.2.7.3)
Grade 8
21.2.8.1. A polygon (not necessarily convex) is cut out of paper. Through two points on the boundary
of the polygon a straight line is drawn. The polygon is folded along this straight line and the two pieces of
paper are glued to form a new polygon. Prove that the perimeter of the new polygon does not exceed that
of the initial polygon. (See Fig. 37.)
Figure 37. (Probl. 21.2.8.1)
21.2.8.2. Prove that for any nonnegative a
1
and a
2
such that a
1
+ a
2
= 1 there exist nonnegative b
1
and b
2
such that b
1
+ b
2
= 1 and (1.25 − a
1
)b
1
+ 3(1.25 − a
2
)b
2