60-odd years of moscow mathematical

BC, CD and AD at M , N , P and Q, respectively. Suppose DP = DQ = BM = BN = R, where R is the
radius of the circle. Prove that ∠ABC + ∠ADC = 120
◦
.
27.2.7.5. For what positive integers a the equation x
2
+ y
2
= axy has a solution for x and y in positive
integers?
Grade 8
27.2.8.1. Each of n glasses of sufficient capacity contains the same amount of water as the other glasses
do. At one step we may pour as much water from any glass into any other as the recepting glass already
contains. For what n is it possible to empty all glasses into one glass in a finite number of steps?
27.2.8.2. Consider three points A, B, C on the same straight line and one point, O, not on it. Denote
by O
1
, O
2
, O
3
the centers of circles circuscribed around triangles 4OAB, 4OBC, 4OAC. Prove that the
points O
1
, O
2
, O
3
and O are all on one circle, see Fig. 57.

---

OLYMPIAD 27 (1964)
79
Figure 57. (Probl. 27.2.8.2)
27.2.8.3. Two players sit at a 99 × 99 tic-tac-toe board. The first player draws a “×” in the central
square. Then the second player may draw a “O” in any of the eight squares adjacent to the ×. Now, the
first player draws a × in any of the squares adjacent to those already occupied, and so on. The first player
wins if (s)he can draw his/her × in any corner square. Prove that the first player can always win.
27.2.8.4. Inside an equilateral (not necessarily regular) heptagon A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
an arbitrary point
O is chosen. Denote by H
1
, H
2
, H
3
, H
4
, H
5
, H
6
, H
7
the bases of the perpendiculars dropped from O to
A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, A
4
A
5
, A
5
A
6
, A
6
A
7
, respectively. It is known that points H
1
, H
2
, H
3
, H
4
, H
5
, H
6
, H
7
belong to the sides themselves, not to their extensions. Prove that
A
1
H
1
+ A
2
H
2
+ A
3
H
3
+ A
4
H
4
+ A
5
H
5
+ A
6
H
6
+ A
7
H
7
= H
1
A
2
+ H
2
A
3
+ H
3
A
4
+ H
4
A
5
+ H
5
A
6
+ H
6
A
7
+ H
7
A
1
.
27.2.8.5*. 101 distinct points are chosen at random in a square of side 1 (not necessarily inside it, some
points might lie on the sides), so that no three of the points belong to one straight line. Prove that there is
a triangle with vertices at some of the fixed points whose area does not exceed 0.01.