60-odd years of moscow mathematical

n+1
= a
n−1
a
n
+ 1 for n = 1, 2, . . . . Prove that a
1964
is
not divisible by 4.
Grade 8
27.1.8.1. See Problem 27.1.7.1.
27.1.8.2. Find all positive integers n such that (n − 1)! is not divisible by n
2
.
27.1.8.3. Solve in integers for unknowns x, y and z:
r
x +
q
x + · · · +
√
x = z (y-many square roots).
27.1.8.4. See Problem 27.1.9.4 a) below.
27.1.8.5. Take the sums of digits of all numbers from 1 to 1 000 000. Next, take the sums of digits of the
numbers obtained, etc., until you get 1 000 000 one-digit numbers. Which number is more numerous among
them: 1 or 2?
Grade 9
27.1.9.1. Solve the system in positive numbers:



x
y
= z,
y
z
= x,
z
x
= y.
27.1.9.2. Prove that the product of two consecutive positive integers is not a power of any integer.
27.1.9.3. Given that a − k
3
..
. 27 − k for any integer k, except k = 27, find a.

---

78
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
27.1.9.4. a) Prove that if all angles of a hexagon are equal, then its sides satisfy the following relations:
a
1
− a
4
= a
5
− a
2
= a
3
− a
6
.
b) Prove that if the lengths of segments a
1
, . . . , a
6
satisfy the above relations, then one can construct
from them an equiangular hexagon.
27.1.9.5. In quadrilateral ABCD, We drop perpendiculars from vertices A and C to diagonal BD, and
from vertices B and D, to AC. Let M , N , P , Q be the bases of the perpendiculars. Prove that quadrilaterals
ABCD and M N P Q are similar. (See Fig. 55.)
Figure 55. (Probl. 27.1.9.5)
Figure 56. (Probl. 27.2.7.1)
Grades 10 − 11
27.1.10-11.1. A number N is a perfect square and does not end with a zero. After erasing its two last
digits, one gets another perfect square. Find the greatest N with this property.
27.1.10-11.2. See Problem 27.1.8.3.
27.1.10-11.3. It is known that for any integer k 6= 27 the number a − k
1964
is divisible by 27 − k. Find
a. (Cf. Problem 27.1.9.3.)
27.1.10-11.4. See Problem 27.1.8.4.
27.1.10-11.5. What is the least number of nonintersecting tetrahedrons into which a cube can be
divided?
Tour 27.2
Grade 7
27.2.7.1. We select an arbitrary point B on segment AC. Segments AB, BC, and AC are diameters of
circles T
1
, T
2
and T
3
, respectively. Consider a straight line through B; let it intersect T
3
at P and Q, and
let it intersect T
1
and T
2
at R and S, respectively. Prove that P R = QS. (See Fig. 56.)
27.2.7.2. 2n persons attanded a party. Everyone was acquainted with at least n guests. Prove that
it is possible to select 4 of the guests and seat them at a round table so that each sits next to his or her
acquaintances.
27.2.7.3. 102 points, no three of which are on the same straight line, are chosen in a square with side
1. Prove that there exists a triangle with vertices at these points and of area less than
1
100
.
27.2.7.4. Through opposite vertices A and C of quadrilateral ABCD a circle is drawn intersecting AB,