60-odd years of moscow mathematical

part of x. Find a
1000
.
29.2.8.3*. There is a test that for any set of balls can determine whether the set contains any radioactive
balls, but but it cannot tell how many of the balls are radioactive. We know that two of the given 19 balls
are radioactive. Find both the radioactive balls after 8 tests. (Cf. Problem 29.2.9-11.3 below).
29.2.8.4. A subway system has not more than four stations along each line, not more than three of which
are intersections with the other lines. Moreover, not more than two lines meet at any of the intersections.
What greatest number of lines can such a system have if it is possible to get from any station to any other
station with not more than two train changes?
29.2.8.5*. Prove that there exists k such that the first 4 digits of k! are 1966.
Grades 9 − 11
29.2.9-11.1. See Problem 29.2.8.1.
29.2.9-11.2*. See Problem 29.2.8.2, where a
1
= 1966, and find a
1966
.
29.2.9-11.3*. There is a test that for any set of balls can determine whether the set contains any
radioactive balls, but but it cannot tell how many of the balls are radioactive. We know that two of the
given 11 balls are radioactive. Prove that fewer than seven tests do not guarantee the discovery of both
radioactive balls, whereas one can determine them by seven tests.
29.2.9-11.4. Given a collection of weights 1, 2, . . . , 26 g. Select 6 weights so that it is impossible to
compose with the help of (some or all of) these 6 weights two piles of equal weight. Prove that it is impossible
to select 7 weights with the same property.
29.2.9-11.5. On an 11 × 11 checker-board 22 squares are marked so that exactly two of the marked
squares lie in each column and each row. Two arrangements of marked squares are considered equivalent if
in any number of permutations of the columns and/or (independent) permutations of rows one arrangement
can be obtained from the other. How many nonequivalent arrangements of marked squares are there?
Olympiad 30 (1967)
Tour 30.1
Grade 8
30.1.8.1. Do there exist two consecutive positive integers such that the sum of the digits of each of them
is divisible by 125? Either find the smallest such pair of numbers or prove that they do not exist.

---

OLYMPIAD 30 (1967)
85
30.1.8.2. Given 4ABC, find a point M on side AB or its extension so that the sum of the radii of the
circles circumscribed abound 4ACM and 4BCM is minimal.
30.1.8.3. A spy must cipher his (her) message. For this (s)he wants to divide all decimal “words” —
sets of ten signs, each either a dot or a dash — into two groups, so that any two words of the same group
differ in not less than three places. Either describe such a division or prove that the spy’s assignment is
hopeless.
30.1.8.4. Given 4ABC, find the locus of all points M for which 4ABM and 4BCM are isosceles.
30.1.8.5. In the city of Fuchs, Ostap Bender organized a distribution of elephants to people. There
were present 28 trades union members and 37 non-members. Ostap distributed the elephants so that the
shares of all trades union members were equal, and the shares of non-members were also equal. It turned out
that there existed only one such distribution (of all elephants). What greatest number of elephants could O.
Bender have had?
Remark. O. Bender is a main character of a satiric dilogy by I. Il’f and E. Petrov. It became immensely popular since
it had been first published in the late ’20s. A part of it, translated into English in the ’30s under the title The Little Golden
Calf, is a series of adventures of Jeff Peters and Andy Tuckers type. Among O. Bender’s rackets were paid popular lectures and
prophesies. An announcement written in the spirit of ‘Royal Nonsuch’ from Huck Finn’s adventures said that after the lecture
O. Bender was to distribute elephants. At the time of Bender’s adventures the majority of the audience — hicks and red-necks
— had no hope to get ‘elephants’; all of them, even the “privileged” trades union members, were primarily interested not even
in future-telling but in the immediate now and prone to ask Bender “Why there is no butter on sale?” or “Are you a Jew?”
(Miraculously, this book is even more timely now, in late ’90s.)