60-odd years of moscow mathematical

≤ a
3
≤ · · · ≤ a
10
, then
a
1
+ · · · + a
6
6
≤
a
1
+ · · · + a
10
10
.
43.8.2. See Problem 43.7.2.
43.8.3.
∗
A point C is on a chord AB of circle K with center at O. Let D be the second intersection
point of K with the circle circumscribed around 4ACO. Prove that CD = CB.
43.8.4. See Problem 43.7.4.
43.8.5. See Problem 43.7.5.
Grade 9
43.9.1. Let a
1
< a
2
< a
3
< . . . be an increasing sequence of positive integers such that a
n+1
≤ 10a
n
for any n ∈
N
. Prove that the infinite decimal fraction 0.a
1
a
2
a
3
. . . obtained by writing these numbers one
after another is non-periodic.
43.9.2. There are several push buttons on a panel that controls lamps on a desk. Pressing any button
turns some lamps on the desk on or off (every button governs its own set of lamps and the sets may intersect).
Prove that the number of all possible states of the desk is equal to a power of 2.
43.9.3. On an m × n rectangular piece of graph paper there are several squares whose sides are on the
vertical and horizontal lines of the paper. It is known that no two squares coincide and no square is situated
inside another one. What is the maximal number of such squares?
43.9.4. See Problem 43.7.4 for a) r >
l
5
; b*) r >
l
7
.
43.9.5*. See Problem 43.8.3.
Grade 10
43.10.1. See Problem 43.9.1.
43.10.2. See Problem 43.9.2.
43.10.3. See Problem 43.9.4.
43.10.4. One of the numbers −1, 0 or 1 is written in every square of a 1980 × 1980 table. The sum of
all numbers is equal to 0. Prove that there exist two rows and two columns such that the sum of the four
numbers written in the squares of their intersections is equal to 0.
43.10.5. On a unit sphere, there are given several arcs of great circles. The sum of the length of all these
arcs is less than π. Prove that there is a plane passing through the center of the sphere and not intersecting
any of the arcs; see Fig. 89.
Figure 89. (Probl. 43.10.5)

---

120
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
Olympiad 44 (1981)
Grade 7
44.7.1. The remainders after divisions of a positive integer A by 1981 and 1982 are both equal to 35.
What is the remainder after division of A by 14?
44.7.2. See Problem 44.9.1 below for a 13-digit number.
44.7.3. A painter drew two identical dragons on two identical paper discs so that the first dragon’s eye
is at the center of the first disc and the second dragon’s eye is not at the center of the second disc. Prove
that it is possible to cut the second disc into two parts so that they can be put together again and the same
disc with the same dragon can be obtained but this time the dragon’s eye will be at the center.
44.7.4. Recall that [x] is the integer part of x. For a number x greater than 1, is it necessary that
hq£√
x
¤i
=
hp√
x
i
?
44.7.5. There are 5 identically looking weights. Their masses are 1000 g, 1001 g, 1002 g, 1004 g, and
1007 g but we do not know which mass is which. Given a balance with an arrow that shows mass in grams,
how to find the weight with mass 1000 g in three weighings?
Grade 8
44.8.1. In a pentagon, all diagonals are drawn. Which 7 angles between the diagonals or between the
diagonals and the sides should be marked so that if the angles marked are equal it would follow that the
pentagon is regular?
44.8.2. See Problem 44.7.2.
44.8.3. See Problem 44.7.3.
44.8.4. See Problem 44.7.4.
44.8.5. Given 10 positive integers a
1