7-9-sinf algebra va geometriya misolida

х 2  5х  6  0 tenglama esa oldingisidan 1 ko‘paytma bilan farq qiladi, shunday qilib
6
1
ildizlari 6x 2  5x  1  0 учун x  1 , x
2
2 3
 1
х 2  5х  6  0 учун x  2 , x  3
1 2
Agar kvadrat tenglamada a va □ koeffitsiyentlarni o‘rnini almashtirsak, unda ildizlarni ham izlanayotganidan teskarisini olamiz.
в) 3x 2  7x  4  0
Koeffitsiyentlari yig‘indisi 0 ga teng. 3  4  (7)  0 , ildizlari esa x1  1 ,
x
2
 4
3
Demak, agar a  b  c  0 bo‘lsa, ax 2  bx  c  0 tenglama ildizlari x  1,
1
x
 c
a
2
bo‘ladi.
1 2
3
г) 3x 2  7x  4  0 ni qarasak, x  1, x   4 .
Agar ax 2  bx  c  0 kvadrat tenglamada quyidagi □ tenglik o‘rinli bo‘lsa, u
a
1 2
holda x  1, x   c bo‘ladi.
д)

• ax  aa  0, bunda [a ] butun son, a- а ning kasr qismi. U holda

x 2
ildizlar x1  a, x2  a bo‘ladi.
е) 320,35x 2  623x  301,65  0 tenglama haqiqiy ildizga ega ekanligini isbotlang.
Agar ax 2  bx  c  0 kvadrat tenglama uchun b  a  c  0
bajarilsa, u holda uning ildizlari haqiqiy bo‘ladi.
Bizning yuqoridagi tenglama uchun 623  320,35  301,65  622  0
Demak, uning ildizlari haqiqiy.
tengsizlik
x2
j) a ning shunday qiymatini topingki, unda ushbu  ax  1  0 va
x2

• x  a  0 tenglamalar bitta ildizga ega bo‘lsin.

Agar x2  ax  1  0 va x2  x  a  0 tenglamalar umumiy ildizga ega bo‘lsa, u holda u ildiz □ tenglamaning ham ildizi bo‘ladi. Bundan esa (a  1)(x  1)  0
Agar a  1 bo‘lsa, har qanday son (a  1)(x  1)  0 tenglamani ildizi bo‘ladi.
a  1 bo‘lganda esa faqat x  1 bo‘lganda esa ildiz bo‘ladi.

Demak, a  1 va a -shundayki, unda x  1 quyidagi tenglamalarni ildizi bo‘ladi:
x 2

• ax  1  0 va x2  x  a  0 . x  1 ni tenglamaga qo‘ysak bo‘ladi.

Bundan a  2  0, yoki a  2 . Shunday qilib a  2;1
z) Quyidagi funksiya bilan berilgan parabola uchi koordinatalarini toping: 1) y  2(x  1) 2  3 formulaga ko‘ra y  2(x  1) 2  3  2x 2  4x  1
bundan
x0  2a , y0 

• b 4ac  b 2

4a
ga qo‘ysak, x0  1 y0  3 bo‘ladi.
Ammo y  2(x  1) 2  3 dan y  2(x  (1))2  (3) va bundan x  1, y  3.
0 0
Demak, agar y  ax 2  bx  c funksiya y  a(x  m) 2  n ko‘rinishda berilgan bo‘lsa ( a, m, n- berilgan sonlar, a  0) , u holda parabola uchi koordinatalari
x0  m, y0  n ya’ni x0 : y0   m: n bo‘lar ekan.
2) y  x 2  3x  28 ni qaraymiz. Bu tenglama ildizlari x  7
1
x2  4 bo‘ladi.
Bundan x
0
 x1  x2  7  (4)  3 2 2 2
0 0 0 0
y  y(x )  y 3  30,25  x : y    3 ;30,25
 2  2 
3. у=cos 2 x-2sinx+1 funksiyani eng kata qiymatini topish masalasi qo‘yilgan bo‘lsin.
0
у=2-sin 2 x-2sinx , bundan esa sinx =
 2
2  (1) 2а
0 0
= -1, (x = в ) . Demak sinx =-1
2x  6  0
 
 
2  x  0  x  2  x  
da funksiya eng kata qiymatga erishadi у max =3 bo‘ladi.

• Tengsizliklarni intervallar usuli bilan yechish.

Ma’lumki, chiziqli, kvadrat, yuqori darajali, ko‘rsatkichli, logarifmik va trigonometrik funksiyalari, shuningdek ular o‘rtasidagi munosabatlar va bu
funksiyalardan arifmetik amallarni qo‘llab hosil qilingan yangi funksiyalar o‘z aniqlanish sohalari bo‘yicha uzluksizdir. Shuning uchun tengsizlik usulini maktab
matematika kursidagi ko‘pgina masalalarni yechishda qo‘llash mumkin. Intervallar usuli tengsizliklarni yoki ma’lum tenglamaning ildizlari yoki tengsizlikning
aniqlanish sohasi ko‘rinishida yechish imkoniyatini yaratadi.

• Irratsional tenglamalar va tengsizliklar.

Tenglamani yeching: а) x  1  2  x  2x  6
Ushbu tenglamani yechimi yo‘q, chunki x ni qabul qilish mumkin bo‘lgan qiymatlarini qarasak u bo‘sh to‘plam. Afsuski, yechimi yo‘q degan tushuncha maktab matematikasida juda kam o‘rganiladi.
x 1  0 x  1

x  3
б) 3 3x  2  2 x  2  5 tenglamani yechamiz. Yuqoridagi kabi aniqlanish sohasini qarasak: x  2  3x  2  4  3х  2  2  3 3x  2  6
Bundan esa shunday xulosa chiqadi, noma’lumni qabul qiluvchi qiymatlaridan ko‘rinib turibdiki bu tenglamani chap qismi o‘ng qismidan katta ya’ni tenglamaning chap qismidagi musbat birinchi qo‘shiluvchi 6 dan katta. Bu songa musbat qo‘shiluvchi qo‘shilsa albatta o‘ng qismidagi 5 dan katta son hosil bo‘ladi. Demak yechim yo‘q, x 
в) 3 3x  5  2 4x  1  7 tenglamani yeching.
Noma’lum x ning qabul qiladigan barcha qiymatlarida tenglamaning chap qismi x ning o‘suvchi funksiyasi hisoblanadi. Shuning uchun agar yechim bo‘lsa, u aniq: bu yechim x  2 bo‘ladi.
г)
20  x  20  x 