7-amaliy mashg’ulot mavzu: Raqobatning ayrim matematik modellari. “Yirtqich–qurbon“ sistemasi modeli. Ikki davlat orasida qurollanish poygasi

Ilova 1
Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar
1. “Yirtqich – qurbon” sistemasi deganda nimani tushunasiz?
2. “Yirtqich – qurbon” sistemasi modelini qurishda nimalarga e’tibor beriladi?
3. “Yirtqich – qurbon” sistemasi modelida qurbon populyatsiyasining soni qanday o’zgaradi?
4. “Yirtqich – qurbon” sistemasi modelida yirtqich populyatsiyasining soni qanday o’zgaradi?
5. “Yirtqich – qurbon” sistemasi modelini qurishda Maltus modelining ahamiyati.
Monitoring va baholash
Og’zaki so’rov, tezkor savol javob va klasterni to’ldirishiga qarab 1-5 ballgacha baholanadi
Ilova 2
Talabalar bilimini baholash uchun tezkor savollar

1. 
   Iqtisodiy masalalar uchun sodda model ayting.
   
2. 
   Fizik jarayaonlarni tavsiflovchi sodda model keltiring.
   
3. 
   Biologik jarayaonlarni tavsiflovchi sodda model keltiring.
   
4. 
   Jarayonlarni modellashtirishda qanday bosqichlardan foydalaniladi?
   

Asosiy qism
Bu qralayotgan sistemadagi munosabatlar “raqobat” bo`lmasdan, aslida bu “raqobat“ qurbonlar sonining o`zgarishida ifodalandi, bu o`zgarish esa yirtqichlar soniga ham ta`sir ko`rsatadi. Haqiqatdan ham, hech bir organizim (yoki populyatsiya) ajratilgan holda yashay olmaydi, u atrof – muhit bilan muloqotda bo`ladi. O`zaro ta`sirlashuvning eng ko`p tarqalgan turi – bir turdagi organizimlar (hayvonlar, qushlar, baliqlar, hashorotlar) tomonidan boshqa organizimlarni ozuqa sifatida foydalanishidir.
Eng sodda holda, ya`ni ikki turdan iborat “yirtqich – qurbon”sistemasi matematik modeli quyidagi farazlarga asoslanadi:

1. 
   qurbon populyatsiya soni va yirtqich populyatsiya soni faqatgina vaqtga bog`liq (demak, bu model populyatsiyaning o`zi egallab turgan hududga fazoviy taqsimotini e`tiborga olmaydigan model ekan);
   
2. 
   o`zaro tasirlashuvlar bo`lmaganda turlarning o`zgarishi Mal`tus modeli bo`yicha amalga oshadi, bunda qurbonlar soni ortadi, yirtqichlar soni esa ozuqa bo`lmagani sabab kamaya boradi:
   

3. 
   qurbonlar tabiiy kamayishi va yirtqichlar tabiy ko`payishi joiz deb hisoblanmaydi;
   
4. 
   har ikkala populyatsiya soninig to’yinganlik effekti hisobga olinmaydi;
   
5. 
   Qurbonlar sonining o`sish tezligi yirtqichlar soniga, ya`ni kattalikka proporsional ravishda kamayadi, yirtqichlar soni o`sishi tezligi qurbonlar soniga, ya`ni kattalikka proporsional ravishda o`sadi.
   

Yuqoridagilarni birlashtirib Lotki–Vol`terra tenglamalar sistemasiga (Lotki–Vol`terra modeliga) kelamiz:
(1)
va undan boshlang`ich shartlar yordamida ixtiyoriy vaqtdagi populyatsiya soni topiladi (bu model Vol`terra tomonidan Adristika dengizida bir xil davrli, ammo turli fazali baliq ovi tebranishlarini tadqiq etish maqsadida yaratilgan).
Chiziqsiz bo lgan bu modelni o`zgaruvchilar tekisligida tadqiq qilish qulay, buning uchun birinchi tenglamani ikkinchisiga bo`lamiz:
(2)
(1), (2) tenglama muvozanat holatiga (ya`ni statsionar, vaqtga bog`liq bo`lmagan yechimga) ega
(3)
Bu muvozanat holati turg`unligi masalasini qaraymiz. Buning mazmuni quyidagicha. Agar boshlang`ich populyatsiya soni (3) qiymatlarga teng bo`lsa, vaqt o`tishi bilan u qanday o`zgaradi? Agar qandaydir sabablarga ko`ra populyatsiya soni qiymatlardan biroz og`ishgan bo`lsa, sistema muvozanat holatiga keladimi? Va nihoyat, agar boshlang`ich qiymatlar muvozanat qiymatlardan sezilarli farq qilsa, vaqt o`tishi bilan ular kattaliklarga nisbatan qanday o`zgaradi?
funksiyalarning vaqt dinamikasini tushinish uchun (2) tenglama shaklini o`zgartiramiz:
hosil bo`lgan tenglikning ikkala qismini NM kattalikga bo`lamiz va barcha hadlarini tenglamaning chap tomoniga o`tkazamiz:
(4)
(4) tenglamani integrallab,
munosabatlarni olamiz, bu yerda o`zgarmas son va boshlang`ich qiymatlar orqali aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, (2) tenglama yoki (1) sistema

ko`rinishidagi integralga yechimga ega.
Oxirgi tenglamani potensirlab (logarifmini yo`qotib)
(5)
integralni hosil qilamiz.

1-rasm
(5) yechimning mavjudligi qo`yilgan savollarga javob berish imkonini beradi (1-rasmda (1) sistema faza trayektoriyalari tasvirlangan; strelkalar bilan vaqt mobaynida trayektoriya bo`ylab harakat yo`nalishi ko`rsatilgan ):

1. 
   agar bo`lsa, butun davr mobaynida populyatsiya soni o`zgarishsiz qoladi ;
   
2. 
   yirtqich va qurbon populyatsiyasining muvozanat holatidan kichik o`zgatishdan so`ng vaqt mobaynida muvozanat hoatlariga qaytmaydi;
   
3. 
   agar muvozanat holatidan o`zgarish katta bo`lsa, funksiyalarning holatlari xuddi b) holatdagi kabi bo’ladi.
   

Bu xulosalar yirtqich va qurbon populyatsiyalar soni muvozanat holati atrofida davriy tebranishini anglatadi (ya`ni yirtqich populyatsiya soni ozuqa manbai yetarli bo`lganda ortadi, biroq vaqt o`tishi bilan yirtqichlar populyatsiysi kamayib boradi. Bu esa yana o`z navbatida qurbonlar populyatsiysi soni ortishiga olib keladi va shu taxminiy sikl takrorlanadi). Tebranishlar amplitudasi va davri boshlang`ich qiymatlar bilan aniqlanadi, ular faza bo`yicha yuz bermaydi: ning maksimal qiymatiga ning o`rta qiymati mos keladi va aksincha (2-rasm).

Tebranishlar (ularning mazmuni tushunarli, ular real tabiatda ham uchrab turadi) ikki turli populyatsiya sistemalarida bir turli sistemalarga qaraganda murakkabroq jarayonlarning paydo bo`lishini ta`minlaydi (chiziqli Maltus modeli va logistik modellar bilan taqqoslang).

Yanada aniq matematik modellar ikki turli sistemalar o`zaro ta`sirlashuvlarida populyatsiya sonining o`zlari egallab turgan hududlarida notekis taqsimotlari (ularga xususiy hosilali tenglamalar sistemalari mos keladi), individlar tug`ulishi va voyaga yetishi o`rtasidagi kechikishlari va h.k. lar inobatga olinadi. Ham vaqt bo`yicha, ham fazo bo`yicha o`zaro tasirlashuv jarayoni yuzaga keladi. Masalan, qurbon populyatsiya uchun to`yinganlik e’tiborga olinsa (1) ning birinchi tenglamasida
(6)
had paydo bo`ladi. Bu holda fazo yo`nalishlari spiral shaklida bo`ladi (3-rasm), ular vaqt o`tishi bilan muvozanat holatiga intiladi, tebranish amplitudasi esa kamaya boradi.