7-bob. Differensial hisob

Matematikda insonning hayratini
keltiradigan nimadir bor.
Xausdorf
7-BOB. DIFFERENSIAL HISOB
§ 7.1 Funksiya hosilasi ta’rifi, uning mexanik va geometrik ma’nosi
§ 7.2. Murakkab va oshkormas funksiyalarning hosilalari
§ 7.3. Silliq egri chiziqqa o’tkazilgan urinma va normal
§ 7.4 Hosilaning tatbiqlari
§ 7.5 Funktsiyaning ekstremumi va uni to'la tekshirish

§ 7.1 Funksiya hosilasi ta’rifi, uning mexanik va geometrik ma’nosi

Umumiy holda у=f(x) funksiyaning hosilasini topish, ya’ni uni differensiallash,quyidagi algoritm bo’yicha amalga oshiriladi:

1. 
   х argumentga х0 orttirma berib, х+х nuqtani topamiz;
   
2. 
   funksiya orttirmasini f= f(x+x)-f(x) tenglik o’yicha hisoblaymiz;
   
3. 
   f/x nisbatni topamiz va uning х0 bo’lgandagi limitini hisoblaymiz. Bu limit mavjud bo’lsa, uning qiymati hosilani aniqlaydi.
   

Misol sifatida f(x)=sinx funksiya hosilasini yuqoridagi algoritm bo’yicha topamiz:

1. 
   х va х+х nuqtalarda funksiyani hisoblaymiz;
   
2. 
   trigonometrik formuladan foydalanib, funksiya orttirmasini quyidagicha yozamiz:
   

f=sin(x+x)-sinx= 2sin( x/2)cos(x+x/2)
3) f/x nisbatni tuzamiz va uning limitini hisoblaymiz:
(f/x)= 2sin(x/2)cos(x+x/2)/x=
= sin(x/2)/(x/2) cos(x+x/2)=1cosx=cosx.
Bu yerda ko’paytmaning limiti, sinx/x=1 ajoyib limitdan va u=cosx funksiya uzluksizligidan foydalanildi.
Demak, (sinx)=cosx buladi. Xuddi shunday usulda (cosx)= -sinx ekanligi aniqlanadi. Bundan tashqari
(a^x)= a^xlna , (log_ax)= _ae
ekanligini isbotlash mumkin.
Ammo, har qanday funksiya hosilasini bu algoritm bo’yicha hisoblash oson emas va muhimi shart ham emas. Umumiy holda funksiya hosilasini hisoblashni quyidagi differensiallash qoidalari bo’yicha amalga oshirish mumkin.

1.