7-Ma’ruza mashg’uloti: Funksional ketma-ketlik (qator)larning funksional xossalari. Reja

7.2. Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi. to’plamda :

funksional ketma–ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin, ya’ni
.
7.2-teorema. Agar funksional ketma–ketlikning har bir hadi to’plamda uzluksiz bo’lib, bu (7.2) funksional ketma–ketlik to’plamda ga tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda limit funksiya ham da uzluksiz bo’ladi.
7.2-eslatma. 7.2-teoremaning shartlari bajarilganda

tenglik o’rinli bo’ladi .
7.4-misol. Ushbu

funksional ketma–ketlikning limit funksiyasini da uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. ketma–ketlikning har bir hadi da uzluksiz. Berilgan ketma–ketlikning limit funksiyasini topamiz:

Bundan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni .
Demak, 7.2-teoremaga asosan, berilgan ketma–ketlikning limit funksiyasi ham da uzluksiz funksiya bo’ladi. Bu yerda 7.2-eslatmadagi tenglikning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni

7.3.Funksional qatorlarda hadma-had limitga o’tish. Yaqinlashuvchi (7.1) funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi , nuqta esa to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
7.3-teorema. Agar da (7.1) funksional qatorning har bir hadi chekli

limitga ega bo’lib, berilgan qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa,

qator ham yaqinlashuvchi, uning yig’indisi esa, ning dagi limitiga

teng bo’ladi.
7.3-eslatma. 7.3-teoremaning shartlari bajarilganda

tenglik o’rinli bo’ladi.
7.5-misol. Ushbu

limitni toping.
Yechilishi. Berilgan funksional qator to’plamda Abel alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashuvchi bo’ladi (6.21-misolga q.), ya’ni

barcha va lar uchun va bo’ladi. Bundan tashqari,
.
yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng. 7.3-teoremaning shartlari bajarilayapti. Endi funksional qatorda hadma-had limitga o’tish mumkin:
.