7-Ma’ruza mashg’uloti: Funksional ketma-ketlik (qator)larning funksional xossalari. Reja

7.4. Funksional ketma-ketlikda hadma-had limitga o’tish. (7.2) ketma-ketlik to’plamda berilgan bo’lib , uning limit funksiyasi nuqta esa to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
7.4-teorema. Agar da ketma-ketlikning har bir hadi chekli

limitga ega bo’lib, bu ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo’ladi, uning

limiti esa, ning dagi limitiga teng , .
7.6-misol.Ushbu

funksional ketma-ketlik da 7.4-teoremaning shartlarini qanoatlantirishini ko’rsating.
Yechilishi. ni topamiz:
Berilgan funksional ketma-ketlikning da tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz: .
Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi.

yaqinlashuvchi va
,
Shunday qilib, funksional kema-ketlik 7.4-teoremaning hamma shartlarini qanoatlantirar ekan.
7.5.Funksional qatorni hadma-had integrallash. Yaqinlashuvchi (7.1) funksional qator segmentda berilgan bo’lib , uning yiindisi bo’lsin.
7.5-teorema. Agar (7.1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz bo’lib, qatorning o’zi shu segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi va

tenglik o’rinli bo’ladi.
7.4-eslatma. 7.5-teoremada qatorning tekis yaqinlashuvchiligi yetarli shart bo’lib, lekin zaruriy shart bo’la olmaydi, ya’ni ba’zan tekis yaqinlashuvchilik sharti bajarilmagan funksional qatorni ham hadma-had integrallash mumkin.
7.7-misol. Ushbu

funksional qatorni da hadma-had integrallash mumkinmi?
Yechilishi. Berilgan funksional qatorning qismiy yig’indisini topamiz:
.
Endi da limitga o’tamiz:

Demak, berilgan funksional qatorning yig’indisi uzilishga ega bo’lgan funksiyadir. Shuning uchun berilgan funksional qator uchun da tekis yaqinlashuvchilik sharti bajarilmaydi. Demak, 7.5–teoremani qo’llash huquqiga ega emasmiz. Lekin, qator yig’indisini va qatorni hadma-had integrallash mumkin:

Buni e’tiborga olsak,

tenglik o’rinli bo’ladi.
7.8-misol. Ushbu

funksiyaning da uzluksizligini isbotlang va integralni hisoblang.
Yechilishi. funksiyalar da uzluksiz. va lar uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Veyershtrass alomatiga ko’ra, berilgan funksional qator tekis yaqinlashuvchi. 7.1-teoremaga ko’ra, funksiya da uzluksiz. Bu yerda 7.5 – teoremaning ham hamma shartlari bajariladi. Shuning uchun berilgan funksional qatorni hadma-had integrallash mumkin:

Demak, .
7.6. Funksional ketma-ketliklarni hadma-had integrallash. (7. 2) yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlik da berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin.
7.6-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi segmentda uzluksiz bo’lib, funksional ketma-ketlik segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi, uning limiti esa bo’ladi, ya’ni

tenglik o’rinli bo’ladi.
7.9 misol.Ushbu

ketma-ketlik 7.6-teoremaning hamma shartlarini qanoatlantirishini ko’rsating, ya’ni
(*)
tenglik o’rinli ekanligini isbotlang.
Yechilishi. funksiyalar segmentda uzluksiz, hamda

Demak, ketma-ketlik segmentda tekis yaqinlashuvchi. U holda, 7.6-teoremaga asosan, berilgan funksional ketma-ketlikni hadma-had integrallash mumkin:

Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti 0 ga teng.
Shunday qilib, (*) tenglikning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
7.7. Funksional qatorni hadma-had integrallash. Yaqinlashuvchi (7.1) funksional qator segmentda berilgan bo’lib, uning yig’indisi bo’lsin.
7.7-teorema. Agar (7.1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz hosilaga ega bo’lib,

qator segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (7.1) qatorning yig’indisi segmentda hosilaga ega va

bo’ladi.