7-Ma’ruza mashg’uloti: Funksional ketma-ketlik (qator)larning funksional xossalari. Reja

7.5-eslatma. 7.7-teoremadagi funksional qatorning tekis yaqinlashuvchilik sharti yetarli bo’lib, u zaruriy shart emas.
7.10-misol. Ushbu

funksional qatorni da hadma-had differensiallash mumkinmi?
Yechilishi. Berilgan qatorning umumiy hadi da uzluksiz hosilaga ega bo’ladi. da berilgan funksional qator taqqoslash alomatiga ko’ra ( da ) yaqinlashuvchi va yig’indiga ega. Bundan tashqari, hosilalardan tuzilgan

funksional qator da Veyershtrass alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Demak, berilgan funksional qatorning yig’indisi da hosilaga ega va
.
7.11-misol. Ushbu

funksiyaning da uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. funksiyalar da uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega. funksional qator, Veyershtrass alomatiga asosan, da tekis yaqinlashuvchi.
Demak, 7.7-teoremaga asosan, berilgan qatorni hadma-had differensiallash mumkin va

Bundan tashqari, 7.2-teoremaga asosan, va funksiyalar da uzluksiz bo’ladi.
7.8. Funksional ketma-ketliklarni hadma-had differensiallash. cyegmentda yaqinlashuvchi (7. 2) funksional ketma-ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin.
7.8-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi cyegmentda uzluksiz hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan

funksional ketma-ketlik cyegmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda limit funksiya shu cyegmentda hosilaga ega bo’lib, bu hosila ketma-ketlikning limitiga teng bo’ladi.
7.12-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik da limit funksiyaga tekis yaqinlashsa ham

bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi. Barcha va lar uchun

bo’ladi. funksional ketma-ketlikning da tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz:

Endi bo’ladi. Bu yerdan

7.13-misol. Ushbu

ketma-ketlikning segmentda notekis yaqinlashuvchiligini, hamda
(*)
tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. va da .
da ; ,
,
.
Demak, berilgan ketma-ketlik ga segmentda notekis yaqinlashuvchi. Endi (*) tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz:

Bu yerdan (*) tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
O’z o’zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Funksional qator yig’indisining uzluksizligi tarifini keltiring
   
2. 
   Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi.
   
3. 
   Funksional qatorlarda hadma-had limitga o’tish.
   
4. 
   Funksional ketma-ketlikda hadma-had limitga o’tish.
   
5. 
   Funksional qatorni hadma-had integrallash.
   
6. 
   Funksional ketma-ketliklarni hadma-had integrallash.
   
7. 
   Funksional qatorni hadma-had integrallash.
   
8. 
   Funksional ketma-ketliklarni hadma-had differensiallash.