7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari
Download 225.59 Kb. Pdf ko'rish
|
7-12 Маруза 41-80 lotin
|
5-ta`rif. Agar 0 > ∀ ε son olinganda ham shunday 0 >
son topilsaki, }) { \ ) ( ( 0 0 x x U X x δ I ∈ ∀ uchun
ε > ) (x f tengsizlik bajarilsa, ) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti ∞ + deb ataladi va ∞ + = → ) ( lim 0
f x x
kabi belgilanadi. Masalan, 2 1 ( ) f x x = , ) 0 ( ≠ x
funksiya uchun ∞ + = → 2 0 1 lim
x x
bo`ladi. Aytaylik, ) (x f funksiya R X ⊂ to`plamda berilgan bo`lib, ∞ + = 0 x nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin. 6-ta`rif. Agar 0 > ∀ ε son olinganda ham shunday 0 >
topilsaki, ,
x ∈ ∀ δ >
uchun
ε < − | ) ( | b x f
tengsizlik bajarilsa, b soni
) (x f funksiyaning ∞ +
0 x dagi limiti deyiladi va b x f x = ∞ + → ) ( lim
kabi belgilanadi. 7-misol. Aytaylik, ) , 0 ( ∞ + =
, ∞
= 0
,
1 ) ( = bo`lsin. U holda 0 1 lim = ∞ + → x x
bo`ladi. ◄Haqiqatan ham, 0 > ∀ ε sonnni olaylik. Ravshanki, 0 >
x uchun
71
ε ε 1 1 0 1 > ⇔ < = − x x x . Demak, ε δ 1 = deyilsa, unda δ > ∀ x uchun
ε δ =
= −
1 0 1 x x
bo`ladi. ► 8-misol. Faraz qilaylik, R X N m a a x x f x m = ∈ > = , , 1 , ) (
bo`lsin. Unda 0 lim = ∞ + → x m x a x
bo`lishini isbotlaymiz. ◄ 0 > ε sonni olaylik. Ma`lumki, ∞ →
da 0 ) 1 ( → + n m a n
bo`ladi. Unda ε ε < + > ∀ ∃ > ∀ n m a n n n n ) 1 ( : , , 0 0 0
bo`ladi. Agar 0
C = deyilsa, unda C x > ∀ uchun [ ]
[ ] ε < +
= −
m x m x m a x a x a x ) 1 ( 0
bo`ladi ). ] [ ( 0 C n x = ≥ Demak, 0 lim = ∞ + → x m x a x . ►
9-misol. Ushbu e x x x = +
∞ + → 1 1 lim munosabat isbotlansin. ◄ 0
∀ ε sonni olamiz. Ma`lumki, ∞ →
da , 1 1 e n n → +
. 2 1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n n n → + + ⋅ + + = + + +
Limit ta`rifiga binoan, ε ε ε +
+ + +
− >
∈ ∃ > ∀ +
n n e n n N n n n 1 0 0 1 1 , 1 1 1 : , , 0
bo`ladi. Endi
0 n C = desak, unda C x > ∀ uchun 72
ε ε +
+ < + <
+ + < − + e x x x e x x x 1 ] [ ] [ ] [ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1
bo`lib, ε < − +
e x x 1 1 bo`ladi. Demak, e x x x = +
∞ → 1 1 lim
. ► 3 0 . Funksiya limiti ta`riflarining ekvivalentligi. 3-teorema. Funksiya limitining Koshi hamda Geyne ta`riflari ekvivalent ta`riflardir. ◄Koshi ta`rifiga ko`ra b soni
) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti bo`lsin: b x f x x = → ) ( lim 0
Unda 0 0 , | | , , 0 , 0 x x x x X x ≠
− ∈
> ∃ > ∀ δ δ ε
bo`lganda ε < − | ) ( | b x f (1) bo`ladi. 0
nuqta
to`plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko`ra } {
x ketma-ketlik topiladiki, ∞ → n da
0 x x n →
( ) K , 2 , 1 , 0 = ≠
x x n bo`ladi. Ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan
, |
: , , 0 0 0 0 δ δ < − > ∀ ∈ ∃ > x x n n N n n (2) bo`ladi. (1) va (2) munosabatlardan 0
n > ∀ uchun ε < −
x f n ) ( bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa b sonini Geyne ta`rifi bo`yicha ) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti ekanini bildiradi. Endi
b soni Geyne ta`rifi bo`yicha ) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti bo`lsin. Teskarisini faraz qilamiz, ya`ni ) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti Geyne ta`rifi bo`yicha b ga teng bo`lsa ham, Koshi ta`rifi bo`yicha limiti bo`lmasin. Unda biror 0 0
ε uchun
ixtiyoriy 0 > δ son olinganda ham δ < −
| |
0 x x ni qanoatlantiruvchi biror x ′ da 0 | ) ( |
≥ −
b x f
bo`ladi. Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi { n δ } ni olaylik:
∞
n da
0 →
δ
( ) K , 2 , 1 , 0 = >
n δ . U holda 0 0 | ) ( | | | 0 ε δ ≥ − ⇒ < −
b x f x x n n n
(3) bo`ladi. Ammo 0 →
δ , da
0 x x n → , demak, Geyne ta`rifiga asosan b x f n → ) (
bo`ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, b soni Koshi ta`rifi bo`yicha ham, ) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti bo`ladi. ► 4 0 . Funksiyaning o`ng va chap limitlari. Aytaylik, ) (x f funksiya R X ⊂ to`plamda berilgan, 0
nuqta
ning chap limit nuqtasi bo`lib, ) 0
) , ( 0 0 > ⊂ −
γ X x x
73
bo`lsin. 7-ta`rif. Agar ε δ δ ε < − − ∈ ∀ > ∃ > ∀ | ) ( | : ) , ( , 0 , 0 0 0
x f x x x
bo`lsa, b son
) (x f funksiyaning 0
) 0 ( ) ( lim 0 0 0 − = = − → x f x f b x x
kabi belgilanadi. Faraz qilaylik, ) (x f funksiya R X ⊂ to`plamda berilgan, 0 x nuqta
X ning o`ng limit nuqtasi bo`lib, ) 0 ( ) , ( 0 0 > ⊂ + γ γ X x x
bo`lsin. 8-ta`rif. Agar ε δ δ ε < − + ∈ ∀ > ∃ > ∀ | ) ( | : ) , ( , 0 , 0 0 0
x f x x x
bo`lsa, b son
) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi o`ng limiti deyiladi va ) 0
) ( lim 0 0 0 + = = + →
f x f b x x
kabi belgilanadi. Masalan,
< − = > = бўлса 0 агар
, 1 , бўлса 0 агар , 0 , бўлса 0 агар , 1 ) ( x x x x f
funksiyaning 0 nuqtadagi o`ng limiti 1, chap limiti -1 bo`ladi. Mashqlar 1. Ushbu , )
lim , ) ( lim
, ) ( lim , ) ( lim
−∞ = −∞ = +∞ = +∞ = −∞ → +∞ → −∞ → +∞ → x f x f x f x f x x x x
limitlarning ta`riflari keltirilsin. 2. Ushbu x x f π sin
) ( = funksiya 0 0 = x nuqtada limitga ega emasligi isbotlansin. 3. Limit ta`rifidan foydalanib, ∞ = − → 1 1 lim
1 x x bo`lishi isbotlansin. 4. )
f funksiya a nuqtada b limitga ega bo`lishi uchun uning shu nuqtadagi o`ng va chap limitlari mavjud bo`lib,
= − = + ) 0 ( ) 0 (
tengliklar o`rinli bo`lishi zarur va etarli bo`lishi isbotlansin.
Download 225.59 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|