7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari

Tasdiq. (1) ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi.   

◄ Ravshanki,  

1

≥

k

 uchun  

1

2

2

...

2

2

2

)

1

(

...

3

2

1

!

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

≥

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

k

k

k

k

 

bo`ladi. 

 

50 

Endi N’yuton binomi formulasidan foydalanib topamiz: 

∑

∑

∑

∑

=

−

−

=

=

=

<

−

=

+

≤

≤











 −











 −











 −

⋅

+

=

+

−

−

⋅

+

=

=

+

=

⋅

+

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

=











 +

=

n

k

n

k

n

k

n

k

k

n

k

k

n

k

n

n

n

k

k

n

n

n

n

n

n

n

n

n

k

n

k

n

n

n

k

C

n

n

C

n

C

n

C

n

C

n

x

2

1

1

2

2

2

2

2

1

3

2

1

3

2

1

2

1

...

2

1

1

1

!

1

2

)

1

)...(

1

(

!

1

2

1

2

1

...

1

...

1

1

1

1

1

 

Demak, 

N

n

∈

∀

 uchun 

3

0

<

<

n

x

 bo`ladi.  

Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra 

n

n

n

x











 +

=

1

1

 

ketma-ketlik chekli limitga ega. ► 

3-ta`rif. (1) ketma-ketlikning limiti e soni deyiladi: 

e

n

n

n

=











 +

∞

→

1

1

lim

. 

Bu  

e

 soni irratsional son bo`lib, 

K

59045

7182818284

,

2

=

e

 

bo`ladi. 

 

Mashqlar 

 

1. Ushbu 

1

1

1

+











 +

=

n

n

n

x

 

ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligi isbotlansin. 

2. Ushbu 

2

2

lim

n

n

n

∞

→

 

limit hisoblansin. 

3. Ushbu  

...

,

2

2

2

,

2

2

,

2

+

+

+

 

ketma-ketlikning yaqinlashuvchanligi isbotlansin va limiti topilsin. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51 

9-ma`ruza 

Fundamental ketma-ketliklar. Koshi teoremasi 

 

1

0

. Qismiy ketma-ketliklar. Bol’tsano- Veyershtrass teoremasi.  Aytaylik, 

         

...

,

,

...

,

,

,

:

}

{

3

2

1

n

n

x

x

x

x

x

              

(1) 

ketma-ketlik  berilgan  bo`lsin.  Bu    (1)  ketma-ketlikning  biror 

1

n

  nomerli 

1

n

x

  hadini  olamiz. 

So`ngra nomeri 

1

n  dan katta bo`lgan 

2

n

 nomerli 

2

n

x

 hadini olamiz. SHu usul bilan 

4

3

,

n

n

x

x

va 

h.k. hadlarni tanlab olamiz. Natijada nomerlari 

...

..

3

2

1

<

<

<

<

<

k

n

n

n

n

 

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi (1) ketma-ketlikning hadlari ushbu 

...

,

,

...

,

,

2

1

k

n

n

n

x

x

x

 

 

 

 

    (2)                 

ketma-ketlikni hosil qiladi. 

(2)  ketma-ketlik  (1)  ketma-ketlikning  qismiy  ketma-ketligi  deyiladi  va   

}

{

k

n

x

  kabi 

belgilanadi. 

Masalan,  

...

,

16

,

9

,

4

,

1

,

...

,

7

,

5

,

3

,

1

,

...

,

8

,

6

,

4

,

2

 

ketma-ketliklar  

...

,

,

..

,

4

,

3

,

2

,

1

n

ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari,  

...

,

1

,

...

,

1

,

1

...,

,

1

,

...

,

1

,

1

,

1

−

−

−

 

ketma-ketliklar   

...

,

)

1

(

,

...

,

1

,

1

,

1

,

1

1

+

−

−

−

n

  ketma-ketlikning  qismiy  ketma-ketliklari 

bo`ladi.  

Keltirilgan tushuncha  va  misollardan bitta ketma-ketlikning turli qismiy ketma-ketliklari 

bo`lishi mumkin-ligi ko`rinadi. 

1-teorema. Agar 

}

{

n

x

 ketma-ketlik limitga ega bo`lsa, uning har qanday qismiy ketma-

ketligi ham shu limitga ega bo`ladi. 

◄ Bu teoremaning isboti ketma-ketlik limiti ta`ri-fidan kelib chiqadi. ► 

Eslatma.  Ketma-ketlik  qismiy  ketma-ketliklarining  limiti  mavjud  bo`lishidan  berilgan 

ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.                                     

Masalan, 

...

,

)

1

(

,

...

,

1

,

1

,

1

,

1

1

+

−

−

−

n

 ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari   

...

,

1

,

...

,

1

,

1

...,

,

1

,

...

,

1

,

1

,

1

−

−

−

 

larning limiti bo`lgan holda ketma-ketlikning o`zining limiti mavjud emas. 

2-teorema (Bol’tsano-Veyershtrass teoremasi).  Har  qan-day  chegaralangan  ketma-

ketlikdan chekli songa intiluvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. 

◄ 

}

{

n

x

  ketma-ketlik  berilgan  bo`lib,  u  chegaralangan  bo`lsin:  Bu  holda 

}

{

n

x

  ketma-

ketlikning 

barcha 

hadlari 

[ ]

b

a,

 

da 

joylashgan 

deb 

qarash 

mumkin: 

...

,

3

,

2

,

1

],

,

[

=

∈

n

b

a

x

n

 

]

,

[

b

a

  segmentni 







 +









+

b

b

a

b

a

a

,

2

,

2

,

 

 

52 

segmentlarga  ajratamiz. 

}

{

n

x

  ketma-ketlikning  cheksiz  ko`p  hadlari  joylashganini 

]

,

[

1

1

b

a

 

deymiz.  Ravshanki, 

]

,

[

1

1

b

a

  ning  uzunligi 

2

a

b

−

  ga  teng  bo`ladi.  YUqoridagiga  o`xshash 

]

,

[

1

1

b

a

   segmentni  







 +









+

1

1

1

1

1

1

,

2

,

2

,

b

b

a

b

a

a

 

segmentlarga  ajratamiz.  Berilgan  ketma-ketlikning  cheksiz  ko`p  sondagi  hadlari  bo`lganini 

]

,

[

2

2

b

a

 deymiz. Bunda 

]

,

[

2

2

b

a

 ning uzunligi 

2

2

a

b

−

 ga teng bo`ladi. 

Bu jarayonni davom ettirish natijasida ushbu 

...

],

,

[

,

...

],

,

[

],

,

[

2

2

1

1

k

k

b

a

b

a

b

a

 

segmentlar ketma-ketligi hosil bo`ladi. Bu segmentlar ketma-ketligi uchun  

...

]

,

[

...

]

,

[

]

,

[

2

2

1

1

⊃

⊃

⊃

⊃

k

k

b

a

b

a

b

a

bo`lib,  

∞

→

k

 da 

0

2

→

−

=

−

k

k

k

a

b

a

b

 

bo`ladi. 

Ichma-ich joylashgan segmentlar printsipiga ko`ra  

)

(

lim

lim

R

C

C

b

a

k

k

k

k

∈

=

=

∞

→

∞

→

 

bo`ladi. 

Endi 

}

{

n

x

  ketma-ketlikning 

]

,

[

1

1

b

a

  dagi  birorta 

1

n

x

hadini, 

]

,

[

2

2

b

a

  dagi  birorta 

2

n

x

  hadini  va  h.k. 

]

,

[

k

k

b

a

  dagi  birorta 

k

n

x

  hadini  va  h.k.  hadlarini  olamiz.  Natijada 

}

{

n

x

 

ketma-ketlikning hadlaridan tashkil topgan  ushbu 

...)

...

(

...

,

,

...

,

,

2

1

2

1

<

<

<

<

k

n

n

n

n

n

n

x

x

x

k

 

qismiy ketma-ketlik hosil bo`ladi.  Bu ketma-ketlik uchun   

...)

,

2

,

1

(

=

≤

≤

k

b

x

a

k

n

k

k

 

bo`lib,  undan  

∞

→

k

 da   

C

x

k

n

→

  ya`ni  

C

x

k

n

k

=

∞

→

lim

 bo`lishi kelib chiqadi. ► 

2

0

.  Fundamental  ketma-ketliklar.  Koshi  teoremasi. 

}

{

n

x

  ketma-ketlik  berilgan 

bo`lsin. 

1-ta`rif.    Agar  har  qanday   

0

>

ε

  olinganda  ham  shunday  natural 

0

n

  soni  topilsaki, 

barcha  

0

n

n

>

  va 

0

n

m

>

 uchun 

ε

<

−

|

|

m

n

x

x

 

tengsizlik bajarilsa (ya`ni 

,

,

,

0

0

0

n

n

N

n

>

∀

∈

∃

>

∀

ε

 

ε

<

−

>

∀

|

|

:

0

m

n

x

x

n

m

 bo`lsa), 

}

{

n

x

 fundamental ketma-ketlik deyiladi. 

Masalan,  

,...)

2

,

1

(

1

=

+

=

n

n

n

x

n

 

fundamental ketma-ketlik bo`ladi. 

◄Haqiqatdan ham, berilgan ketma-ketlik uchun     

m

n

nm

m

n

m

m

n

n

x

x

m

n

1

1

1

1

|

|

+

=

+

<

+

−

+

=

−

 

 

53 

bo`lib,  

0

>

∀

ε

 ga ko`ra 

1

2

0

+









=

ε

n

  deyilsa, 

0

0

,

m

m

n

n

>

∀

>

∀

 bo`lganda   

ε

<

+

<

−

0

0

1

1

|

|

n

n

x

x

m

n

 

bo`ladi. ► 

3-teorema.  (Koshi  teoremasi).  Ketma-ketlikning  yaqinla-shuvchi  bo`lishi  uchun  uning 

fundamental bo`lishi zarur va etarli. 

◄Zarurligi. 

}

{

n

x

  ketma-ketlik    yaqinlashuvchi  bo`lib, 

а

x

n

n

=

∞

→

lim

  bo`lsin.  Limit 

ta`rifiga binoan 

2

|

|

:

,

,

0

0

0

ε

ε

<

−

>

∀

∈

∃

>

∀

a

x

n

n

N

n

n

. 

SHuningdek, 

2

|

|

:

0

ε

<

−

>

∀

a

x

n

m

m

  bo`ladi. Natijada 

0

0

,

n

m

n

n

>

∀

>

∀

 uchun  

ε

<

−

+

−

≤

−

+

−

=

−

|

|

|

|

|

|

|

|

a

x

a

x

x

a

a

x

x

x

m

n

m

n

m

n

 

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, 

}

{

n

x

 fundamental ketma-ketlik. 

Etarliligi. 

}

{

n

x

 fundamental ketma-ketlik bo`lsin: 

.

|

|

:

,

,

,

0

0

0

0

ε

ε

<

−

>

∀

>

∀

∈

∃

>

∀

m

n

x

x

n

m

n

n

N

n

 

Agar  

0

n

m

>

 shartni qanoatlantiruvchi 

m

 tayinlansa, unda  

ε

ε

ε

+

<

<

−

⇔

<

−

m

n

m

m

n

x

x

x

x

x

|

|

 

bo`lib, 

}

{

n

x

 ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi. 

Bol’tsano-Veyershrass  teoremasiga  binoan  bu  ketma-ketlikdan  yaqinlashuvchi  qismiy 

}

{

k

n

x

 ketma-ketlikni ajratish mumkin:  

.

lim

а

x

k

n

n

=

∞

→

 

Demak,   

ε

ε

<

−

>

∀

∈

∃

>

∀

|

|

:

,

,

0

0

0

a

x

k

k

N

k

k

n

 

bo`ladi. 

Agar  

k

n

m

=

 deyilsa, unda   

ε

<

−

|

|

k

n

n

x

x

 

bo`ladi. Keyingi ikki  tengsizliklardan 

ε

2

|

|

|

|

|

|

|

|

<

−

+

−

≤

−

+

−

=

−

a

x

x

x

a

x

x

x

a

x

k

k

k

k

n

n

n

n

n

n

n

 

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, 

.

lim

а

x

n

n

=

∞

→

 ►