7. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ba’zi bir taqsimotlar

Ikki o’lchovli tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va xossalari

Ikki o’lchovli tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va xossalari

Ikki o’lchovli tasodifiy miqdor (X, Y) ning zichlik funksiyasi f(x, y) deb ataladi, agar quyidagi tenglik bajarilsa:

P{(X, Y) ∈ A} = ∬f(x, y)dxdy

Bu yerda A – R^2 ning ixtiyoriy joylashgan qismi. Zichlik funksiyasi f(x, y) ning quyidagi xossalari bor:

1. f(x, y) ≥ 0 har bir (x, y) uchun.

2. ∬f(x, y)dxdy = 1
3. Agar A va B qismlari kesishmasa, ya'ni A ∩ B = ∅ bo'lsa, u holda P{(X, Y) ∈ A ∪ B} = P{(X, Y) ∈ A} + P{(X, Y) ∈ B} bo'ladi.
4. Agar f(x, y) funksiyasi (x0, y0) nuqtada diskret bo'lsa, ya'ni f(x0, y0) > 0 bo'lsa, u holda P{(X = x0) ∩ (Y = y0)} = f(x0, y0) bo'ladi.

Zichlik funksiyasi f(x, y) orqali ikki o’lchovli tasodifiy miqdor (X, Y) ning boshqa xossalari ham aniqlanishi mumkin. Masalan:

- X va Y tasodifiy miqdorlarining taqsimot funksiyalari Fx(x) va Fy(y).

- X va Y tasodifiy miqdorlarining kutilgan qiymatlari E(X) va E(Y).
- X va Y tasodifiy miqdorlarining dispersiyalari D(X) va D(Y).
- X va Y tasodifiy miqdorlarining kovariatsiyasi Cov(X, Y).
- X va Y tasodifiy miqdorlarining korrelyatsiya ko'rsatkichi ρ(X,Y).
10. Bir argumentning fuksiyasi
Bir argumentning funksiyalari tasodifiy miqdorlarning taqsimotini aniqlashda muhim ahamiyatga ega. Agar X tasodifiy miqdorning har bir qiymatiga biror qoida bo‘yicha mos ravishda Y tasodifiy miqdorning bitta qiymati mos qo‘yilsa, u holda Y ni X tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi yoziladi. X tasodifiy miqdor diskret yoki uzluksiz bo‘lishi mumkin. Shuningdek, Y tasodifiy miqdor ham diskret yoki uzluksiz bo‘lishi mumkin. Bir argumentning funksiyalari orqali tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini (matematik kutilma, dispersiya, standart chetlash va boshqalar) hisoblash mumkin. Bir argumentning funksiyalari haqida batafsilroq ma'lumot olish uchun manbalarga qarang.
Bir argumentning funksiyalari tasodifiy miqdorlarning taqsimotini aniqlashda muhim ahamiyatga ega. Agar X tasodifiy miqdorning har bir qiymatiga biror qoida bo‘yicha mos ravishda Y tasodifiy miqdorning bitta qiymati mos qo‘yilsa, u holda Y ni X tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi yoziladi. X va Y tasodifiy miqdorlar diskret yoki uzluksiz bo‘lishi mumkin. Bir argumentning funksiyalari orqali tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

- Agar X diskret tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda Y tasodifiy miqdor ham diskret bo‘ladi va uning matematik kutilmasi va dispersiyasi quyidagi tengliklar orqali aniqlanadi:

- Matematik kutilma:
- Dispersiya:
- Agar X uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda Y tasodifiy miqdor ham uzluksiz bo‘ladi va uning matematik kutilmasi va dispersiyasi quyidagi tengliklar orqali aniqlanadi:
- Matematik kutilma:
- Dispersiya:

Bir argumentning funksiyalari haqida batafsilroq ma'lumot olish uchun manbalarga qarang