Bir argumentning funksiyalari Ikki argumentning funksiyalari

Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari

Reja:

1. Bir argumentning funksiyalari

2. Ikki argumentning funksiyalari

• 
  Agar X t.m.ning har bir qiymatiga biror qoida bo‘yicha mos ravishda Y t.m.ning bitta qiymati mos qo‘yilsa, u holda Y ni X tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi yoziladi.
  

X diskret t.m. qiymatlarni mos ehtimolliklar bilan qabul qilsin: . Ravshanki, t.m. ham diskret t.m. bo‘ladi va uning qabul qiladigan qiymatlari , ,…, , mos ehtimolliklari esa bo‘ladi. Demak, . Shuni ta’kidlash lozimki, X t.m.ning har xil qiymatlariga mos Y t.m.ning bir xil qiymatlari mos kelishi mumkin. Bunday hollarda qaytarilayotgan qiymatlarning ehtimolliklarini qo‘shish kerak bo‘ladi.
t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasi quyidagi tengliklar orqali aniqlanadi:
.
1-misol. X diskret t.m.ning taqsimot jadvali berilgan:

X	-1	1	2
p	0.1	0.2	0.6

Agar: 1) ; 2) bo‘lsa, MY ni hisoblang.
1) Y t.m.ning qabul qiladigan qiymatlari: , ya’ni uning qabul qiladigan qiymatlai 1 va 4. Y t.m. X t.m.ning -1 va 1 qiymatlarida 1 qiymat qabul qilganligi uchun
, . Demak, va .
2) Y t.m.ning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega: . .
Zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan X uzluksiz t.m. berilgan bo‘lsin. Y t.m. esa X t.m.ning funksiyasi . Y t.m.ning taqsimotini topamiz. funksiya X t.m.ning barcha qiymatlarida uzluksiz, (a,b) intervalda qat’iy o‘suvchi va differensiallanuvchi bo‘lsin, u holda funksiyaga teskari funksiya mavjud. Y t.m.ning taqsimot funksiyasi formula orqali aniqlanadi. hodisa hodisaga ekvivalent (30-rasm).


30-rasm.

Yuqoridagilarni e’tiborga olsak,

. (4.1.1)

(4.1.1) ni y bo‘yicha differensiallaymiz va Y t.m.ning zichlik funksiyasini topamiz: .

Demak,
. (4.1.2)

Agar funksiya (a,b) intervalda qat’iy kamayuvchi bo‘lsa, u holda hodisa hodisaga ekvivalent. Shuning uchun,

.
Bu yerdan,
(4.1.3)

Zichlik funksiya manfiy bo‘lmasligini hisobga olib, (4.1.2) va (4.1.3) formulalarni umumlashtirish mumkin:

. (4.1.4)

Agar funksiya (a,b) intervalda monoton bo‘lmasa, u holda ni topish uchun (a,b) intervalni n ta monotonlik bo‘lakchalarga ajratish, har biri bo‘yicha teskari funksiyasi ni topish va quyidagi formuladan foydalanish kerak:

. (4.1.5)

Agar X zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan uzluksiz t.m. bo‘lsa, u holda t.m.ning sonli xarakteristikalarini hisoblash uchun Y t.m.ning taqsimotini qo‘llash shart emas:

(4.1.6)
.

4.2-misol. X zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan uzluksiz t.m. bo‘lsa, Y=-5X+2 t.m.ning zichlik funksiyasini toping.

funksiya intervalda monoton kamayuvchi. Teskari funksiyasi mavvud, . U holda (4.1.4) formulaga ko‘ra, .
4.2-misol yordamida taqsimot va zichlik funksiyalarning formulalarini tekshiramiz:




.
Demak, , u holda , ya’ni
.
Y=aX+b chiziqli almashtirish taqsimot xarakterini o‘zgartirmaydi: normal t.m.dan normal t.m.; tekis t.m.dan tekis t.m. hosil bo‘ladi.
3-misol. X t.m. intervalda tekis taqsimlangan. t.m.ning matematik kutilmasini a) zichlik funksiyani topib; b) zichlik funksiyani topmasdan hisoblang.

a) X t.m.ning zichlik funksiyasi bo‘ladi. intervalda funksiya monoton emas: intervalda o‘suvchi, intervalda esa kamayuvchi. Birinchi intervalda teskari funksiya, ikkinchi intervalda esa ga teng. U holda (4.1.5) formulaga asosan

Demak,

U holda


.
b) (4.1.6) formuladan foydalanamiz:

.