7(3) -ma’ruza. Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan integral. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish. Aniq integralni bo‘laklab integrallash

7(3) -ma’ruza.
Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan integral. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish. Aniq integralni bo‘laklab integrallash.

Reja:

1. 
   Nyuton-Leybnits formulasi.
   
2. 
   Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish
   
3. 
   Aniq integralni bo’laklab integrallash.
   

Nyuton-Leybnits formulasi
Ma’lumki, funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda

funksiya shu oraliqda  ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi.
Ayni paytda, funksiyaning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi yuqoridagi boshlang‘ich funksiyadan ixtiyoriy o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi:

Demak, . Bu tenglikda deb,
,
so‘ng deb

tengliklarni topamiz. Bu tengliklardan
(1)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(1) formula Nyuton-Leynits formulasi deyiladi.
(1) tenglikning o‘ng tomonidagi  ayirma kabi yoziladi:

Demak,
.
Misollar. Quyida keltirilgan aniq integrallar N'yuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
O‘zgaruvchilarini almashtirish usuli bilan aniq integrallarni hisoblash
Ko‘pincha integralni almashtirish yordamida hisoblash qulay bo‘ladi.
Aytaylik, va funksiyalar quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya segmentda uzluksiz;
2) funksiya da uzluksiz, uzluksiz hosilaga ega bo‘lib, uning qiymatlari ni tashkil etsin;
3)
U holda (2)
bo‘ladi.¹
Faraz qilaylik, funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Unda

tenglik o‘rinli. bo‘lgani uchun funksiya ning da boshlangich funksiyasi bo‘ladi. N'yuton-Leybnits formulasiga ko‘ra

bo‘lishi kelib chiqadi.
Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda
bo‘ganda , bo‘ganda ,

bo‘lib, (2) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Ravshanki,
.
Demak,
.

2.Ushbu integralni hisoblansin.

 Bu integralda deb olamiz. Unda
bo‘ganda ,
bo‘ganda ,

bo‘lib,

b o‘ladi.
Bo‘laklab integrallash usuli bilan aniq integrallarni hisoblash.
Faraz qilaylik, va funksiyalar segmentda uzluksiz va uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. U holda
(3)
bo‘ladi.
Ravshanki,
.
Demak, funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi. Unda

bo‘lib, bu tenglikdan

bo‘lishi kelib chiqadi.
(3) tenglikni quyidagicha
(3’)
ham yozish mumkin.
Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda deb olamiz. Unda

bo‘lib, (3’) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.


Nazariy sаvоllаr

1. 
   Yuqori chegarasi o`zgaruvchan bo`lgan aniq integral haqidagi teoremani ayting.
   
2. 
   Nyuton-Leybnits formulasi yozib bering.
   
3. 
   Aniq integralda o`zgaruvchi qanday almashtiriladi.
   
4. 
   Aniq integralni bo`laklab integrallash formulasini yozing.
   
5. 
   Bo`laklab integrallanishi mumkin bo`lgan aniq integralga misollar keltiring.
   

Foydalangan adabiyotlar:

1. 
   Gerd Baumann,Mathematics for Engineers.I.pp.243-247
   
2. 
   Соатов Ё.У.Олий математика 1-2 қисм 1995й.
   
3. 
   G‘aniev I. G‘. va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013.
   

1 G. Bauman. Mathematics for engineers I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010,321 b