76-§. Ózara keri sızıqlı operatorlar

76-§. Ózara keri sızıqlı operatorlar
𝒫 maydan ústindegi keńislik hám onıń
(1)
bazisi berilgen bolsın. sızıqlı operatorın hám onıń (1) bazistaǵı

matritsasın alamız. Bu matritsanıń

determinantı ǵa sáykes operatordıń hám determinantı dep ataladı.
1-anıqlama. determinant nolden ózgeshe bolǵanda sızqlı operator menshiksiz operator, bolsa, menshikli operator dep ataladı.
2-anıqlama. sızıqlı operator ushın sonday sızıqlı operator bar bolıp,
(2)
teńlik orınlansa, ni ǵa keri operator dep ataladı.
(2) teńlikden tómendegilerdi tawamız: vektor ushın . Endi bolsa, onda boladı, yaǵnıy operator, kerisinshe, tı qa sáwlelendiredi.
Teorema. Sızıqlı operatorǵa keri operator bar bolıwı ushın onıń menshiksiz operator bolıwı zárúr hám jetkilikli.
Dálilleniwi: Zárúrligi. ǵa keri operator bar bolsa, teńlik orınlanadı. Onda , , lardan, . Bunda ler kvadrat matritsalar boladı. Matritsalar kóbeymesiniń determinantı bul matritsalar determinantlarınıń kóbeymesine teń bolǵanı ushın teńlikden , yaǵnıy menshiksiz operator ekenligi kelip shıǵadı.
Jetkilikligi. menshiksiz operator, yaǵnıy bolsa, ǵa keri

matritsa bar boladı.
Endi matritsaǵa sáykes sızıqlı operatorın alsaq, teńlikke muwapıq , yaǵnıy ǵa keri operator bar ekenligi málim boladı.
ǵa keri operator kórinisinde belgilenedi. opertor óz náwbetinde ge keri, sebebi ge alıp keledi.
ǵa keri matritsanıń jalǵız ekenliginnen operator da jalǵız degen juwmaqqa kelemiz.
hám operatorlar ózara sızıqlı keri operator dep ataladı.
Nátiyje. Menshiksiz sızıqlı operatorlar kópligi operatorlar kompoziciyası (kóbeytiw ámeli) ne qarata gruppa quraydı. (dálilleń).
Menshiksiz sızıqlı operatorlar kópligi payda etgen gruppa ádetde arqalı belgilenedi. dıń úles gruppaları tómendegi gruppalarǵa bólinedi:

1. 
   shekli úles gruppalar;
   
2. 
   diskret úles gruppalar (elementlari sanı sanaqlı bolǵan úles gruppalar). Bunday úles gruppaǵa tegisliktiń koordinata bası dógereginde múyeshlerge burıwdan payda bolǵan gruppa mısal bola aladı (bul jerde múyesh múyesh penen ólshemi teń bolmaǵan múyesh esaplanadı);
   
3. 
   úzliksiz úles gruppalar (elementleri sanaqlı kóplik elementleri sanınan kóp bolmaǵan úles gruppalar). Úsh ólshemli keńislikti qozǵalmas oq átirapında burıwdan payda etilgen úles gruppa úzliksiz úles gruppa boladı.
   

Mısal: Úsh ólshemli arifmetik keńisliktiń
(3)
bazisi hám


operatorları berilgen. menshiksiz operator, sebebi

Demek,

ge keri operator bar bolıp, onıń (3) bazisdaǵı matritsası tómendegishe boladı:

Lekin operator menshikli, sebebi onıń matritsası

bolıp, bul menshikli matritsa bolıp tabıladı.
Shınıǵıwlar:

1. 
   Shekli keńislikde anıqlanǵan sızıqlı operator rangi usı operator rangina teń ekenligin dálilleń.
   
2. 
   sistema diń bazisi bolıp, da operator anıqlanǵan bolsın. , bazisına ótgende operator matritsası qanday ózgeredi?
   
3. 
   Elementar matritsalardıń menshili yamasa menshiksiz ekenin anıqlań.
   
4. 
   sızıqlı operator sáykes túrde , vektorlarǵa sáwlelendirilse, operatordıń bazisın bazisına ótkeriwshi matritsası tabılsın.
   
5. 
   sızıqlı operatordıń
   

bazisına qarata matritsası

bolsa, onıń bazisına qarata matritsası tabılsın.