8 – ma’ruza. Mavzu: tekis kesim geometrik xarakteristikalari reja

11.5-§.Oddiy tekis kesim yuzalarining inersiya momentlari

1.To‘g‘ri to‘rtburchak. 11.3-paragrafdagi (3.1) formula asosida markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblashni ko‘rib chiqamiz. Buning uchun to‘g‘ri to‘rtburchakdan fikran markaziy o‘qiga parallel bo‘lgan chiziqlar yordamida yuzasi bo‘lgan elementar yuzacha ajratamiz (11.5,a-chizma).

Unda markaziy o‘qga nisbatan inersiya momenti quyidagicha bo‘ladi:
(5.1)
Xuddi shu usulda markaziy o‘qiga nisbatan inersiya momentini hisoblab topish mumkin, ya’ni:
(5.2)

11.5-chizma.To‘g‘ri to‘rtburchak va uchburchak kesim yuzalar.
To‘g‘ri to‘rtburchakli tekis kesimning markaziy o‘qlarga nisbatan markazdan qochirma inersiya momenti nolga teng.
2.Kvadrat. Kvadrat shaklidagi kesimning o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini tomonlari teng bo‘lganligi sabali to‘g‘ri to‘rtburchakning xususiy holi deb qarash mumkin, unda o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari quyidagicha bo‘ladi (11.5,a-chizma):
(5.3)
3.Uchburchak. 11.5,b-chizmadagi kesimning markaziy o‘qiga nisbatan inersiya momenti topish uchun unda shtrixlab ajratib ko‘rsatilgan trapetsiya yuzachasining o‘zgaruvchi eni uchburchaklarning o‘xshashlik alomatidan aniqlanadi (11.5,b-chizma):
bundan (5.4)
Unda kesimning markaziy o‘qiga nisbatan inersiya momenti quyidagiga teng bo‘ladi:
(5.5)
markaziy o‘qiga nisbatan inersiya momenti topish uchun unda shtrixlab ajratib ko‘rsatilgan trapetsiya yuzachasining o‘zgaruvchi eni uchburchaklarning o‘xshashlik alomatidan aniqlanadi:
(5.6)
Xuddi shu usulda markaziy o‘qiga nisbatan inersiya momentini hisoblab topish mumkin, ya’ni:
(5.7)
4. Doira. Avval qutb inersiya momentini topish maqsadga muvofiqdir.
Aniqlangan qutb inersiya momentidan foydalanib markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash qulaylik tug‘diradi. 11.6,a-chizmadagi doiradan raduslari va bo‘lgan ikkida aylana bilan elementar yuzacha ajratamiz. Unda doira yuzining qutb inersiya momenti quyidagicha aniqlanadi:
11.6-chizma.Doira va halqa kesim yuzalar.
(5.8)
Doiraviy kesimning markaziy o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlari bir biriga teng bo‘ladi, chunki doira kesim yuzasi har ikkala markaziy o‘qlarga nisbatan simmetrikdir. Unda doiraviy kesimning markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari (3.5) va (5.8) formulalarga asosan quyidagiga teng bo‘ladi:
(5.9)
4. Halqa. Halqa kesimning inersiya momentlari tashqi va ichki doiralar inersiya momentlarining ayirmasiga teng bo‘ladi (11.6,b-chizma):
Qutb inersiya momenti quyidagi formuladan aniqlanadi:
(5.10)
Markaziy koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari quyidagi formuladan aniqlanadi:
(5.11)
Bunda ichki doira diametrning tashqi doira diametriga nisbati bo‘lib, o‘lchamsiz miqdordir.