8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

1-teorema. (Koshi hám Geyne anıqlamalarınıń ekvivalentligi). funkciyasınıń Koshi boyınsha jıynaqlılıǵı hám Geyne boyınsha jıynaqlılıǵı ekvivalent, yaǵnıy funkciyasınıń Koshi boyınsha sheginiń bar bolıwınan onıń Geyne boyınsha sheginiń bar bolıwı kelip shıǵadı hám kerisinshe funkciyasınıń Geyne boyınsha sheginiń bar bolıwınan onıń Koshi boyınsha sheginiń bar bolıwı kelip shıǵadı. Eki jaǵdayda da shektiń mánisi birdey boladı.
Dálilleniwi. A). Meyli funkciyası Koshi boyınsha jıynaqlı hám shegi bar dep esaplaymız. Geyne boyınsha jıynaqlılıqtı dálilleymiz. Usı maqsette shektiń Koshi boyınsha anıqlamasına tiykarlanıp, sanına sonday sanı bar boladı da teńsizligin qanaatlandıratuǵın ushın teńsizligin jazamız.
1) ushın , 2) shártlerin qanaatlandıratuǵın qálegen argumenttiń izbe-izligin alamız. 2) shártinen sanına sonday nomeri bar boladı da, izbe-izliginiń nomerleri teńsizligin qanaatlandıratuǵın aǵzaları ushın teńsizligi orınlanadı. Bunda sanı retinde qálegen sandı alıw múmkin bolǵanı ushın, teńsizlik sanında da orınlı boladı. Endi sanına sonday nomeri tabılıp, barlıq teńsizligin qanaatlandıratuǵın izbe-izliginiń aǵzalarına sáykes keletuǵın funkciya mánislerinen duzilgen izbe-izliginiń aǵzaları ushın tensizliginiń orınlı ekenligin dálillew kerek. Bunıń ushın dep esaplap, Koshi anıqlamasındaǵı teńsizligin qanaatlandıratuǵın ushın orınlı bolǵan teńsizligi tiykarında teńsizligi hám teńsizligi orınlı degen natiyjege kelemiz. Bul natiyje funkciyası Geyne boyınsha jıynaqlı hám onıń shegi bar ekenligin kórsetedi.
B). Meyli funkciyasınıń Geyne boyınsha jıynaqlı hám shegi bar dep esaplaymız. Funkciyanın Koshi boyınsha jıynaqlı bolatuǵınlıǵın dálilleymiz. Usı maqsette sanı funkciyasınıń shegi bolmasın dep kerisinshe oy jurgizemiz. Bul degeni sonday sanı bar bolıp, sanı ushın teńsizligi orınlı bolatuǵın argumentiniń sonday mánisi tabıladı da usı mániste teńsizligi durıs boladı. Endi izbe-izligin qarastıramız. Onda nomeri ushın argumenttiń sonday mánisi tabıladı da; 1) , 2) , 3) teńsizlikleri orınlı boladı. Geyne boyınsha bunday sanları jıynaqlı izbe-izligin payda etedi hám . Sonlıqtan bul sanlarǵa sáykes keliwshi funkciyanıń mánislerinen duzilgen izbe-izligi de jıynaqlı hám shegi bar boladı. Biraq teńsizliginde shekke ótsek, natiyjesine iye bolamız. Bul múmkin emes, sebebi bizde . Bul qarama-qarsılıq funkciyası Koshi boyınsha jıynaqlı hám onıń shegi bar boladı, eger bul funkciya Geyne boyınsha jıynaqlı bolsa degen natiyje shıǵarıwǵa múmkinshilik beredi. Dálildiń sońı.
Sonıń menen birge akademiyalıq liceyler, kásip-óner kolledjleri ushın arnalǵan oqıw ádebiyatlarında 1)-6) shekler ushın orınlı bolǵan, sanlar izbe-izligi ushın keltirilgen tastıyıqlaw hám teoremalarǵa sáykes, tastıyıqlawlar hám teoremalar da tolıq dálillengen.
Usı túrdegi sheklerdi úyreniwde funkciyasınıń argumenti umtılatuǵın noqatı kópliginiń sheklik (limit) noqatı bolıwı áhmiyetli ekenligin atap ótemiz.