8-ma’ruza. Fon Neymanning minimaks haqidagi teoremasi. 2x2, 2xn, mx2 o’lchovli o’yinlar Reja

3. 2x2 - o’yinni yechish

Endi yuqorida keltirilgan mulohazalardan foydalanib 2x2-o’yinni yechish bilan shug’ullanamiz.

Faraz qilaylik, 2x2 o’yin to’lovlar matrisasi bilan berilgan va u egar nuqtaga ega bo’lmasin. o’yinchilarning optimal strategiyalari , va o’yin bahosi ni topish talab qilinadi.
Quyidagi tasdiq o’rinli: agar 2x2-o’yinda egar nuqta mavjud bo’lmasa, o’yinchilarning ikkala strategiyalari ham aktiv bo’ladi, ya’ni, , ; , .
Shuning uchun, 3-teorema natijasiga ko’ra, agar I o’yinchi optimal aralash strategiyani qo’llasa va II o’yinchi yoki strategiyalaridan foydalansa, I o’yinchining yutug’i o’yin bahosiga teng bo’ladi, ya’ni, bajariladi. ekanligini hisobga olsak,

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema yagona yechimga ega deb faraz qilamiz, ya’ni
(4)
bo’lsin. Ko’rsatish mumkinki, agar egar nuqta mavjud bo’lmasa, (4) shart bajariladi. U vaqtda optimal strategiyaning komponentalari
(5)
formula bo’yicha topiladi.
Xuddi shunga o’xshash, 3 - teorema natijasi asosida II o’yinchi uchun

sistemani hosil qilamiz va (4) shart bajarilganda uni yechib q^*=(q₁,q₂) optimal strategiya komponentalarini topamiz:
(6)
Qaralayotgan 2x2- o’yin bahosi esa
(7)
formula bo’yicha topiladi.
Misol. To’lovlar matrisasi 1- jadvalda keltirilgan o’yinning yechimi topilsin.

1-jadval

II I	B1	B2
A1	5	-1
A2	2	4

Bu yerda , , ya’ni o’yin egar nuqtaga ega emas. O’yin yechimini aralash strategiyalarda topamiz. bo’lgani uchun (5), (6), (7) formulalarga ko’ra