8-ma’ruza. Fon Neymanning minimaks haqidagi teoremasi. 2x2, 2xn, mx2 o’lchovli o’yinlar Reja

1- teorema. Har qanday matrisaviy o’yin aralash strategiyalarda muvozanat vaziyatiga egadir.


2. Optimal aralash strategiyalarning xossalari

Agar – muvozanat vaziyati bo’lsa, – I o’yinchining, esa II o’yinchining optimal aralash strategiyalari bo’ladi.

Optimal aralash strategiyalar va o’yin bahosi g uchun


munosabatlar bajariladi.
Bundan tashqari amaliyot uchun quyidagi teoremaning ahamiyati kattadir.
2– teorema. matrisaviy o’yin uchun
(3)
tenglik bajariladi va p^*,q^* optimal aralash strategiyalar
,

shartlardan aniqlanadi.
3-teorema. Faraz qilaylik, berilgan matrisaviy o’yinda , – optimal aralash strategiyalar, esa o’yin bahosi bo’lsin. U holda: agar , bo’lsa, bo’ladi; agar bo’lsa, bo’ladi. Aksincha, agar bo’lsa, bo’ladi; agar bo’lsa, bo’ladi.
Isboti. Biror uchun va deb faraz qilaylik. U vaqtda . Bundan tashqari bo’lgani uchun bajariladi. Demak,
,
ya’ni, Bu esa ning o’yin bahosi ekanligiga qarama-qarshidir. Demak, bo’lganda bajariladi. Teoremaning qolgan tasdiqlari ham shunday isbotlanadi.
Ta’rif. Agar I (mos ravishda, II) o’yinchining shunday optimal (mos ravishda, ) strategiyasi mavjud bo’lib, (mos ravishda, ) bo’lsa, (mos ravishda, ) sof strategiya shu o’yinchining aktiv strategiyasi deyiladi.
Shu ta’rifni hisobga olganda 3-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar I o’yinchi optimal aralash strategiyani qo’llasa, raqib tomon qanday aktiv -strategiyani qo’llamasin, uning yutug’i o’yin bahosiga teng bo’ladi, ya’ni tenglik bajariladi. Xuddi shunga o’xshash, agar II o’yinchi optimal aralash strategiyasini qo’llasa, I o’yinchi o’zining qanday aktiv -strategiyasini qo’llamasin, tenglik o’rinli bo’ladi.